Линейная аппроксимация

Линейная аппроксимация.

Встроенные функции intercept to intercept по-английски - отложить отрезок на линии и slope наклон решают самую простую и самую распространнную задачу регрессионного анализа - нахождение прямой, пронизывающей точки методом наименьших квадратов. Найденные значения коэффициентов а и b аппроксимирующего уравнения yx a bx позволяют построить на графике прямую с роящимися вокруг не точками. Подобным графиком на практике, как правило, завершают регрессионный анализ график, во-первых, даст наглядное представление о качестве анализа, а во-вторых, поможет в случае чего отловить допущенные ошибки ввода исходных данных пропуск десятичной точки, например.

Этой цели может служить и предварительная сортировка векторов ошибочные значения часто всплывают на концах упорядоченного вектора. В-третьих, график сам по себе ценен. Графиком, т.е. с другого конца, можно довольно быстро решить линейную аппроксимационную задачу. Дополнить результаты регрессионного анализа неплохо указанием точки, максимально отклонившейся от прямой.

Само значение такого выброса найти несложно через функцию max Стрелка в аргументе функции max указывает на то, что он - вектор А вот с определением координат этой точки придтся повозиться привлечь аппарат булевых выражений, принимающих два значения - True в среде MathCAD - единица и False нуль, умножение которых на текущий индекс фиксирует искомую координату. В пакете MathCAD PLUS 6.0 почти 300 встроенных функций. При всм богатстве встроенных функций пакету MathCAD не хватает функции определения в векторе или в матрице координат минимального максимального элемента.

Выход из положения - это сумма для вектора или двойная сумма для матрицы произведений номера текущего элемента на булево выражение. Эту конструкцию так и хочется оформить в виде новой функции с именем imax, например и больше с такой задачей не возиться. Но в новую функцию перекочует и будет замаскирована ошибка - не ясно, что будет возвращать новорожднная функция imax, если в аргументе-векторе в массиве два или более максимальных элементов.

Из прозрачной формулы с суммой это понятно, а из затеннной функции imax - нет. Все эти замечания можно отнести и к встроенным функциям intercept и slope, возвращающим значения коэффициентов линейной регрессии. Всегда остаются сомнения, а нет ли в этих функциях фактической или методологической ошибки. Последнюю можно обнаружить, если подставить в функции intercept и slope аргументы - векторы с двумя или даже одним методом.

Через две точки можно всегда провести только одну прямую. Через одну точку прямых можно провести бесчисленное множество. И в том, и в другом случае сумма квадратов отклонений двух точек одной точки будет нулевой и требования метода наименьших квадратов будут выполняться абсолютно. Но в первом случае функции можно intercept и slope будут решать простую интерполяционную задачу, для которой в среде MathCAD есть особый математический аппарат. Во втором случае X и Y - не векторы, а скаляры функции intercept и slope должны выдавать бесчисленное множество значений, связанных ограничением Y a bX. В плане выполнимости критерия наименьших квадратов здесь вс безупречно, но методология, заложенная в функции intercept и slope, приводит к тому, что при числе элементов в векторах X и Y, меньше двух, выдатся сообщение об ошибке.

Вс это слабая защита, которую пользователь может легко обойти, подсунув функциям intercept и slope более одной точки, но с повторяющимися значениями аргументов.

Резюме играть можно не только с игровыми программами. На эту роль подходят и серьзные математические пакеты - было бы желание у пользователя. Дифференциальные уравнения. В среде MathCAD до версий PLUS 5.0 дифференциальные уравнения без особых ухищрений можно было решать только методом Эйлера, у которого низкие точность и производительность плата за простоту. Инструментарий для решения дифференциальных уравнений систем различного порядка и различными методами в арсенале MathCAD появился сравнительно недавно.

В него входят 13 встроенных функций Bustoer, bustoer, bvalfit, multigird, relax, Rkadapt, rkadapt, rkfixed, sbval, Stiffb, stiffb, Stiffr и stiffr. Функция rkfixed возвращает в матрицу Z с Р1 столбцами и n строками Р - количество уравнений или порядок уравнения - таблицу решений системы первый вернее, нулевой столбец - это значения аргумента t их задат пользователь, а последующие столбцы - значения ординат решения. В функцию rkfixed заложен широко распространнный метод Рунге - Кутта. Несмотря на то что это не самый быстрый метод, функция rkfixed почти всегда справляется с поставленной задачей.