Основные методы интегрирования

Основных методов интегрирования, то есть основных методов вычисления неопределенных интегралов, четыре:

1) Непосредственное интегрирование.

2) Интегрирование с помощью подстановки (с помощью замены переменной интегрирования).

3) Интегрирование по частям.

4) Приближенное интегрирование.

 

1.Непосредственное интегрирование.

Этот метод основан на тождественных преобразованиях подынтегральной функции с последующим применением свойств неопределенных интегралов и таблицы основных неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить

Решение. Оно очевидно:

Итак,

Здесь С - неопределенная константа, представляющая собой комбинацию 2С₁-3С₂+5С₃ неопределенных констант (С₁; С₂; С₃).

Проверка:

- верно.

Этот пример показывает, что при разбиении неопределенного интеграла на сумму или разность нескольких неопределенных интегралов, появляется и несколько неопределенных констант. Но они затем объединяются в одну неопределенную константу. Поэтому при записи суммы или разности нескольких интегралов их неопределенные константы можно не писать, а записать лишь одну общую неопределенную константу С в самом конце.

Пример 2. Вычислить .

Решение:

.

Проверка:

- верно.

 

2. Интегрирование с помощью подстановки (с помощью замены переменной интегрирования).

Суть этого метода в следующем. Пусть требуется вычислить некоторый неопределенный интеграл Нередко его можно упростить, сведя к табличному, путем замены переменной интегрирования х на какую-то новую переменную (на переменную t), используя подходящую подстановку x = , где - некоторая дифференцируемая функция. Тогда получим следующую схему вычисления неопределенного интеграла с помощью подстановки:

==== ===

Естественно, что применяемая подстановка будет оправданной лишь в том случае, если полученный в результате ее применения интеграл будет проще, чем исходный интеграл .

Примечание. В практических случаях чаще удобнее делать не подстановку вида , а подстановку вида .

Пример 3. Вычислить .

Решение:

==

===

=

Пример 4. Вычислить .

Решение:

=

=.

Пример 5. Вычислить .

Решение:

== ==.

Пример 6. Вычислить .

Решение:

===

Пример 7. Вычислить .

Решение:

=