рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Программирование
/
ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД - раздел Программирование, Методические указания по изучению методов математического программирования Общие рекомендации по использованию программного обеспечения Изложение Двойственного Симплекс-Метода. Дво...

Изложение двойственного симплекс-метода.

Двойственный симплекс-метод (ДСМ) непосредственно применяется к решению почти каноничной задачи линейного программирования (МКЗЛП), которая формулируется таким образом:

Найти вектор x = (x₁...,xn), что минимизирует линейную функцию

L(x)= c₁x₁ + ... + c_nx_n (4.1)

и удовлетворяет систему линейных ограничений

x_i + a_i,m+1 x_m+1 + ... + a_inx_n = a_i0,i=1...,m (4.2)

x_j³0, j=1...,n (4.3)

(компоненты a_i0 вектора ограничений A₀ могут быть отрицательными) при дополнительном условии: относительные оценки (симплекс - разницы) Dj переменных x_j неотъемлемые.

Вектор x=(x₁...,xn) называется почти допустимым базисным решением (МДБР) МКЗЛП, если его компоненты удовлетворяют ограничение (4.2), и ненулевым компонентам x_j отвечают линейно независимые векторы условий Aj.

Базис и базисная матрица МДБР определяются подобно тому, как это делается для СЗЛП.

МКЗЛП является случаем части СЗЛП. Существуют методы сведения произвольной ЗЛП к почти каноничному виду.

Признак оптимума: Если на некотором шаге ДСМ компоненты МДБР x* неотъемлемые, то x* — оптимальное решение МКЗЛП.

Признак отсутствия решения: Оптимального решения МКЗЛП не существует, если на каком-либо шаге ДСМ в строке с a_i0<0 все компоненты a_ij³0, j=1...,n. В этом случае допустимое множество решений МКЗЛП пустое.

Алгоритм двойственного симплекс-метода.

На каждом шагу ДСМ выполняются такие действия (расчетные формулы наводятся лишь для первого шага).

1. Рассматривается МДБР x=(a10...,am0,0,...,0).

Вычисляются относительные оценки (симплекс - разницы) Dj небазисных переменных x_j, j=m+1...,n, за формулой:

Dj=c_j– (c_б, Aj)

где c_б=(c₁...,cm), Aj — вектор условий, что отвечает переменной x_j (относительные оценки базисных переменных равняются нулю).

Если для всех i=1...,m выполняется условие a_i0³0, то МДБР xбудет оптимальным решением МКЗЛП. Конец вычислений.

Если существует такое и, что a_i0<0, а коэффициенты a_ij³0, j=1...,n, то МКЗЛП не имеет допустимых решений. Конец вычислений.

2. Если существуют индексы и, для которых a_i0<0, а среди соответствующих компонент a_ij, j=1...,n, есть отрицательные, то находят l:

l=argmin a_i0

и: a_i0<0

вычисляют отношение gj=–Dj/a_lj для всех a_lj<0 и определяют k:

k=argmin gj.

и: a_lj<0

3. Переходят к новому МДБР, исключая из базиса вектор A_l и вводя к базису вектор A_k. Упомянутый переход осуществляется с помощью симплекс - превращений (элементарных превращений Жордана - Гаусса с ведущим элементом a_lk) над элементами расширенной матрицы условий. Переход к пункту 1.

Программное обеспечение.

Обучающий модуль, с помощью которого ЗЛП Решается в диалоге с пользователем за выложенным алгоритмом, вызывается из раздела «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ» главного меню пакета ПО–МО.

Задание.

Решить двойственным симплекс-методом задачи линейного программирования, условия которых задаются модулем с помощью команды «Данные» главного меню (задачи №1–№9), а также следующие задачи.

Во всех задачах, которые предлагаются дальше, все переменные неотъемлемые.

1)	6 x₁ + 4 x₂ ® min	2)	2 x₁ + 3 x₂ ® min	3)	–6 x₁ – 4 x₂ ® max
	2 x₁ + x₂ ³ 3		x₁ + 5 x₂ ³ 16		2 x₁ + x₂ ³ 3
	x₁ – x₂ £ 1		3 x₁ + 2 x₂ ³ 12		x₁ – 2 x₂ £ 2
	– x₁ + 2 x₂ ³ 1;		2 x₁ + 4 x₂ ³ 16;		3 x₁ + 2 x₂ ³ 1;

4)	6 x₁ + 4 x₂ ® min	5)	7 x₁ + x₂ ® min	6)	7 x₁ + 10 x₂ ® min
	2 x₁ + x₂ ³ 3		x₁ + x₂ ³ 3		2 x₁ + 28 x₂ ³ 17
	3 x₁ + 2 x₂ ³ 1		5 x₁ + x₂ ³ 5		x₁ + 2 x₂ ³ 3;
	– x₁ – x₂ ³ 6;		x₁ + 5 x₂ ³ 5;		x₁ + 17 x₂ ³ 19;

7)	x₁ + x₂ + 2 x₃ ® min	8)	–15x₁ – 33 x₂ ® max
	2 x₁ – x₂ – 3 x₃ + x₄ = – 3		3 x₁ + 2 x₂ ³ 6
	x₁ – 3 x₂ – 4 x₃ + x₅ = – 1;		6 x₁ + x₂ ³ 6;

9)	x₁ + 2 x₂ ® min	10)	78 x₁ + 52 x₂ ® min	11)	5 x₁ + 4 x₂ ® min
	2 x₁ + x₂ £ 18		6 x₁ + 2 x₂ ³ 9		x₁ + x₂ £ 6
	x₁ + 2 x₂ ³ 14		-10 x₁ + 14 x₂ ³13		2 x₁ + x₂ ³ 9
	x₁ – 2 x₂ £ 10;		11 x₁ - x₂ ³ 6;		3 x₁ + x₂ ³ 11.

Ответы:

1) x* = (1; 1), L(x*)= 10.

2) x* = (2; 3), L(x*)= 13.

3) x* = (1.5; 0), L(x*)= -9.

4) Решения нет ( D = Æ ).

5) x* = (0; 5), L(x*)= 5.

6) x* = (0; 1.5), L(x*)= 15.

7) x* = (0; 0; 1; 0; 3), L(x*)= 2.

8) x* = (2; 0), L(x*)= -30.

9) x* = (7.33; 3.33), L(x*)= 14.

10) x* = (0.96; 1.62), L(x*)= 159.12.

11) x* = (4.5; 0), L(x*)= 22.5.

Лабораторная работа 5.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Методические указания по изучению методов математического программирования Общие рекомендации по использованию программного обеспечения

СОДЕРЖАНИЕ... Общие рекомендации по использованию программного обеспечения... Элементарные преобразования матриц Метод Гаусса...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Программного обеспечения
Программное обеспечение ПО–МО содержит диалоговые обучающие программы из линейных и нелинейных методов оптимизации (математического программирования), каждая из которых вызывается с п

Постановка задачи.
Решить систему линейных алгебраических уравнений a11x1 + . . . + a1n xn = a10 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Постановка задачи линейного программирования в стандартной форме (СЗЛП). Найти вектор x=

МОДИФИЦИРОВАН СИМПЛЕКС-МЕТОД.
Изложение модифицированного симплекс-метода. Модифицированный симплекс-метод (МСМ) непосредственно применяется к решению КЗЛП и осуществляет целенапра

Постановка транспортной задачи.
В каждом из пунктов Pi, i=1...,m, производится ai единиц некоторого однородного продукта, а в каждом из пунктов Qj, j=1...,n, потребляется b

Основные определения.
Поскольку транспортная задача является случаем части задачи линейного программирования, для нее имеют силу все общие определения последней. В частности, замеченное относится также и к допустимому б

Свойства транспортной задачи.
1. Сбалансированная транспортная задача всегда допустимая и имеет оптимальное решение. 2. Ранг матрицы А ограничений транспортной

Основные теоремы.
1. Решение транспортной задачи базисное, если из его основных коммуникаций невозможно составить замкнутый маршрут (цикл). 2. ДБР

Метод северо-западного угла.
Метод состоит из однотипных шагов, поэтому его формальное изложение дадим лишь для 1-го шага. Заполняем северо-западную клеточку таблицы, покладая x11 = min{a1,

Алгоритм метода потенциалов.
1. Находится исходное допустимое базисное решение (ДБР), например, с помощью одного из упомянутых выше методов. 2. В дальнейшем метод потенциалов с

Программное обеспечение.
Обучающий модуль, с помощью которого транспортная задача Решается в диалоге с пользователем за выложенным алгоритмом, вызывается из раздела «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ» главного меню пакета ПЗ–МО

СПОСОБНОСТЯМИ. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ
Постановка транспортной задачи с ограниченными пропускными способностями (ТЗО). В пункте Pi (i=1

Свойства ТЗО и основные теоремы.
1. Ранг сложенной из векторов Aij матрицы А, ограничений транспортной задачи равняется m+n–1, откуда выплывает, чт

Выходной ДБР ТЗО. 1 этап.
На множестве невычеркнутых клеточек транспортной таблицы находят клеточку (i1,j1) с минимальными транспортными расходами

Выходной ДБР ТЗО. II этап.
Пусть X=||xij||, i=1...,m, j=1...,n — матрица перевозок, построенная на первом этапе. Положим xi,n+1 = ai – (

Потенциалы.
Потенциалы строк ui, i=1...,m, и столбцов vj, j=1...,n, определяются как решение системы vj–ui=cij

Оценки.
Оценки Dijпеременных xij для всех небазисных клеточек вычисляются за формулой Dij=cij–vj+ui (оценки базисных переменных — нулевые). Те

Новый ДБР.
Среди всех клеточек (і,j), для присоединяется к совокупности базисных клеточек. которых не выполняется критерий оптимума, избирают клеточку с наибольшим модулем оценки Dij. Пометим та

Алгоритм метода потенциалов.
1. Строится выходной ДБР. 2. Дальше метод потенциалов состоит из однотипных шагов, на каждом из которых: i) Вычисляются потенциалы u

ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ НА СЕТИ. МЕТОД МИНТИ
Постановка задачи о кратчайшем пути на сети. На сети, что задается графом (I,U), где И — множество вершин,

МЕТОД ФОРДА-ФАЛКЕРСОНА
Постановка задачи о максимальном потоке на сети. На сети, что задается графом (I,U), где I — множество вершин,

Постановка целочисленной задачи линейного программирования.
Найти вектор x=(x1...,xn), что минимизирует целевую функцию L(x)= c1x1 + ... + cnxn (9.1)

Изложение метода Гомори-1.
Метод Гомори-1 является одним из методов отсечения, идея которых заключается в следующем. Решается вспомогательная ЗЛП (9.1)–(9.3), которую получают из исходной ЦЗЛП (9.1)–(9

Алгоритм метода Гомори-1.
1. Решаем вспомогательную ЗЛП (9.1)–(9.3). Пусть x(0) — ее оптимальное решение. Если оптимальное решение не существует, то исходная ЦЗЛП также

ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МЕТОД ГОМОРИ-2
Постановка частично целочисленной задачи линейного программирования (ЧЦЗЛП). Найти вектор x=(x1...,xn

МЕТОД ГОМОРИ-3
Постановка целочисленной задачи линейного программирования (ЦЗЛП). Найти вектор x=(x1...,xn), что

ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МЕТОД ДАЛЬТОНА-ЛЛЕВЕЛИНА
Постановка частично дискретной задачи линейного программирования (ЧДЗЛП). Найти вектор x=(x1...,xn

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.
Постановка целочисленной задачи линейного программирования (ЦЗЛП). Найти вектор x=(x1...,xn), что

Изложение метода Ленд-Дойга.
Решается вспомогательная ЗЛП (13.1)–(13.3), которая получена из исходной ЦЗЛП (13.1)–(13.4) отбрасыванием условия целочисленности переменных (13.4) (ветка 0;1

Алгоритм метода Ленд-Дойга.
1. Определяются множества D(k;r) условиями (13.2), (13.3) и дополнительными ограничениями, которые возникают в процессе разветвления

ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИИ. ВЕНГЕРСКИЙ МЕТОД
Постановка задачи о назначении. Найти вектор (матрицу) X=(xij, і,j=1...,n), что минимизирует целевую функцию

ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИИ. МЕТОД МАКА
Постановка задачи такая же самая, как и в предыдущем разделе (14.1–14.4). Алгоритм метода Мака.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ. СВЯЗЬ С ЗАДАЧЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МЕТОД БРАУНА-РОБIНСОН
Постановка матричной игры двух лиц с нулевой суммой. Найти цену игры и оптимальные смешанные стратегии игроков для матричной игры двух лиц с нулевой суммой и заданн

Метод золотого сечения.
Метод золотого сечения (МЗС) применяется для поиска минимума унимодальной функции одной переменной y=F(x), что задана на промежутке [A,B]. Алгоритм мето

Метод случайного поиска.
Метод случайного поиска применяется для нахождения минимума (максимума) произвольной функции y=F(x), что задана в любой допустимой области D.

Метод дихотомии (половинного деления).
Метод дихотомии (МД) применяется для поиска минимума унимодальной функции одной переменной y=F(x), что задана на промежутке [A,B]. Алгоритм метода реа

КВАДРАТИЧНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
Постановка задачи нелинейного программирования. Найти вектор x=(x1...,xn), что минимизирует (максимизирует) функцию

Градиентные методы безусловной оптимизации.
Для задачи безусловной минимизации метод заключается в вычислении последовательности приближений x[s] по правилу x[s+1]=

Метод самого быстрого спуска.
Метод самого быстрого спуска представляет собой градиентный метод, в котором величина шага r[s] выбирается по правилу F(x[s]–r

Лiтература
1. Ю.М.Ермольев, И.И.Ляшко, В.С.Михалевич, В.И.Тюптя.Математические методы исследования операций. Киев, «Высшая школа», 1979. 2. Ю.Д.Попов. Линейное и нел