Вычисление сумм рядов.

Если требуется найти сумму заданного числа членов ряда (например, N; причем N вводится извне или вычисляется заранее), то никаких проблем с погрешностью не возникает и алгоритм решения такой задачи можно представить в. виде арифметического циклического процесса, в котором N раз используется формула последовательного суммирования, т.е. S = S+P, где Р — значение очередного члена ряда.

В случае, когда необходимо найти сумму ряда с погрешностью, не хуже заданной Е_З, также используется формула последовательного суммирования, но после каждого добавления к полученной сумме очередного члена ряда необходимо проверять текущую погрешность. Это можно сделать по-разному в зависимости от типа ряда.

Способ 1. В случае монотонно убывающего ряда (т.е. ряда, для которого последующий член ряда меньше предыдущего) суммирование проводят до тех пор, пока значение очередного члена ряда не станет меньше, чем заданная погрешность Е_З.

Пример. Составить алгоритм вычисления суммы ряда

с заданной погрешностью EPS.

Фрагмент алгоритма решения данной задачи приведен на рис. 3.9.1. Для возведения переменной X в степень и вычисления факториала используется формула последовательного умножения, причем обе эти функции совмещены в одной формуле для вычисления значения очередного члена ряда (Р). В блоке 3 в каждом цикле модуль очередного члена ряда сравнивается с заданным значением погрешности (сравнивать надо модуль очередного ряда потому, что в общем случае значения X могут быть отрицательными).

Способ 2. Рассмотренный выше способ определения погрешности нельзя непосредственно использовать, если ряд является периодически убывающим (например, если ряд содержит тригонометрическую функцию). В таких случаях

Рис.3.9.1 используется более общий способ завершения циклического процесса, суть которого состоит в том, что процесс суммирования членов ряда прекращается, если модуль очередного члена ряда несколько раз подряд окажется меньше заданного значения погрешности.

Этот способ является наиболее общим, его можно применять к любым рядам. Однако за эту общность приходится расплачиваться снижением эффективности алгоритма и увеличением сложности алгоритма (необходимо организовать проверку и запоминание значений нескольких членов ряда). Поэтому этот способ анализа погрешности используют в случаях, когда заранее неизвестен тип ряда (например, при создании подпрограммы общего назначения).

Алгоритм, приведенный на рис. 3.9.1, является итерационным циклом, поэтому в таком цикле необходимо предусмотреть средства для контроля количества циклов, иначе алгоритм может потерять свойство результативности. Например, если в алгоритме рис. 3.9.1 ошибочно будет задано значение погрешности EPS<0, то условие в блоке 3 будет всегда ложно.

Модифицировать алгоритм рис. 3.9.1

Рис.3.9.2 можно путем введения ограничения на допустимое количество циклов, как показано на рис. 3.9.2. Для фиксации ошибки в алгоритме рис. 3.9.2 предусмотрена переменная ER. Если цикл завершается при выходе из блока 3 по пути «Да» (это происходит, как только выполняется условие |P|<EPS), то ER = 0, что означает нормальное завершение вычислительного процесса. Если же будет выполнено КМ циклов и указанное условие не выполнится, то выход из цикла осуществляется через блок 6 и индикатор ошибки получит значение ER = 1, что является признаком ситуации «Требуемая точность не может быть получена за КМ шагов». Очевидно, что в алгоритмах, использующих подобный способ контроля ошибок после точки А (рис. 3.9.2.), необходимо предусматривать анализ значения ER для принятия решения о дальнейшем развитии вычислительного процесса. Значение КМ зависит от конкретной задачи и выбирается из разумных соображений.

Недостатком алгоритма рис. 3.9.2 является его неструктурированность, из цикла есть специальный выход (по пути «Да» из блока 3). Структурировать алгоритмы можно различными способами. Из всех возможных способов надо выбрать тот, который потребует минимальных вычислительных затрат. Один из способов структурирования алгоритма рис. 3.9.2 приведен на рис. 3.9.3. Проверка погрешности в данном случае осуществляется с помощью конструкции «Развилка» (блоки 3, 4), причем если |Р| <=EPS, то счетчик циклов получает значение КМ, что обеспечивает прекращение циклического процесса при | Р | <=EPS.