Решение нелинейных уравнений.

Любое нелинейное уравнение можно записать в виде

F1(y) = 0, (3.9.1)

либо в форме

Y= F2(Y). (3.9.2)

Существует много различных численных методов решения нелинейных уравнений [2, 3]: метод простой итерации, метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод Ньютона и т.п. При численном определении корней решение проводится в два этапа. Первый этап называется отделением корней, т.е. определением отрезка аргумента, на котором расположен корень уравнения. Отделение корней может проводится различны

Рис.3.9.3. ми способами — выбором отрезка из физических соображений, из решений подобной задачи и т.п.

В любом случае на концах выделенного отрезка функция F(y) должна иметь различные знаки, чтобы корень располагался внутри этого отрезка. На втором этапе проводится решение уравнения тем или иным итерационным численным методом.

В общем случае процедура решения уравнения заключается в следующем. Выбирая начальное значение корня уравнения у_Н из выделенного отрезка находят первое приближение у₁, которое используют для определения второго приближения у₂ и т.д. Так как обычно точное решение найти невозможно, то процесс решения продолжают до тех пор, пока текущая погрешность не станет меньше некоторой заданной малой величины Е_З. Типичные значения Е_З лежат в диапазоне 10^-4— 10^-6.

Для оенки текущей погрешности в данном случае используется аналитическое выражение – запись уравнения в виде (3.9.1), а именно:

Е_Т = F1(Y_K),

где к- номер итерации.