Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт Технический Университет Кафедра Факультет VIII Прикладной Курс II Математики Группа 891 Дисциплина Информатика 2 Курсовая работа Тема Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Руководитель Поляков В.О. Исполнитель Солнцев П.В. Санкт-Петербург 2001 Введение В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа - построение математической модели исследуемого объекта - выбор способа и алгоритма решения полученной модели - численная реализация алгоритма Цель данной работы на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближнных вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики. Содержание 1. Постановка задачи 1.1 Физическая модель 1.2 Математическая модель 2. Обработка результатов эксперимента 2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. 2.2 Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии 3. Нахождение коэффициента теплоотдачи a 3.1 Вычисление интеграла методом трапеций 3.2 Вычисление интеграла методом парабол Симпсона 4. Вычисление времени Т0 установления режима 4.1 Решение уравнения комбинированным методом 4.2 Решение уравнения методом итерраций 5. Решение краевой задачи метод малого параметра 6. Заключение Литература 1. Постановка задачи 1.1 Физическая модель В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещнного в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента измерение температуры в различных точках стержня, либо путм анализа соответствующей математической модели.
В настоящей работе используются оба подхода.
Тонкий цилиндрический стержень помещн в тепловой поток с постоянной температурой q, на концах стержня поддерживается постоянная температура q1.2 Математическая модель Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня.
Будем рассматривать задачу распределения температуры по стержню мосле момента установления режима Т0. Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики.
Учитывая чтность Ux можно искать е в виде многочлена по чтным степеням x ограничимся 4-ой степенью этого многочлена. 1.1 Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что UxiUi Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики.
Можно доказать, что искомая функция Ux имеет вид 1.2 где l - коэффициент теплопроводности, a - коэффициент теплоотдачи, D диаметр стержня, q - температура потока, в который помещн стержень.
Ищем Ux как решение краевой задачи для уравнения 1.2 с граничными условиями 1.3 на отрезке -L2L2, где L длина стержня, q0 - постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня. Коэффициент теплопроводности l зависит от температуры 1.4 где l0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, sl - вспомогательный коэффициент. Коэффициент теплоотдачи a вычисляют по формуле 1.5 т.е. как среднее значение функции за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь a0 - значение a при t стремящемся к бесконечности, b известный коэффициент.
Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле 1.6 где а коэффициент температуропроводности, x - наименьший положительный корень уравнения 1.7 Задание курсовой работы Вариант 136 Исходные данные 1. L 0.0386 м 2. D 0,00386 м 3. q 740 оС 4. q0 74 оС 5. l0 141,85 ВтмК 6. sl 2,70310-4 7. B 6,78910-7 8. a0 3,383102 Втм2К 9. T 218 оС 10. А 3,04310-5 м2с 11 X, мU, oC03530,003863430,007723130,011582610,01 5441840,0193074 2.
Обработка результатов эксперимента . 2.1
r 3. Известно, что эти оценки несмещнные и эффективные. Тогда случайные вел... функцией вида 2.5 C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несм... 3.2 Т.к. из 3.1 очевидно, что aa0, то условие 3.2 заведомо будет выполнено, есл...
Приведм уравнение к виду A x sinx-cosx 0. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовател... В качестве малого параметра возьмм e. см. приложение 1 6.
Заключение Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне, полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента функции регрессии, которые практически в пределах погрешности совпадают с экспериментальными значениями.
Литература 1. Методические указания Методы приближнных вычислений.
Решение нелинейных уравнений ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983 2.Методические указания Приближнные методы ислисления определнных интегралов ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986 3. Методические указания Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988 Приложение 1.