Основные факты

Основные факты. Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений 2.1 2.2 Для этого перепишем скалярные уравнения 2.1 или 2.2 в виде системы двух уравнений 2.3 2.4 где векторы х х1, х2, у у1, y2 совпадают с векторами At- матрица второго порядка 2.5 Если не оговорено противное, то предполагается, что, q t, h t и другие коэффициенты являются непрерывными комплексными функциями на t-интервале J который может быть замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным. i Если и произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения 2.2 , 2.6 имеет единственное решение, существующее при всех, см. лемму IV. 1.1. ii В частном случае 2.1 уравнения 2.2 и при соответствующим единственным решением служит функция. Поэтому, если есть решение уравнения 2.1, то нули функции и t не могут иметь предельной точки в J. iii Принцип суперпозиции.

Если , -решения уравнения 2.1, a , -постоянные, то функция является решением уравнения 2.1. Если -решение уравнения 2.2, то функция также является решением уравнения 2.2 тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению 2.1. iv Если , -решения уравнения 2.1, то соответствующие векторные решения системы 2.3 , линейно независимы в каждой точке t тогда и только тогда, когда функции, линейно независимы в том смысле, что равенство, где и - постоянные, влечет за собой . v Если решения уравнения 2.1, то существует постоянная с, зависящая от и t и v t и такая, что для их вронскиана W t W t и, v выполняется тождество . 2.7 Поскольку матричным решением системы 2.3 является, detXtptWt и trAt0. vi Тождество Лагранжа.

Рассмотрим пару уравнений 2.8 где fft, gg t - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что , 2.9 так как. Соотношение 2.9 называется тождеством Лагранжа.

Его интегральная форма 2.10 где, называется формулой Грина. vii В частности, из v следует, что иt и vt - линейно независимые решения уравнения 2.1 тогда и только тогда, когда в 2.7 . В этом случае всякое решение уравнения 2.1 является линейной комбинацией функций иt и vt с постоянными коэффициентами. viii Если например то вронскиан любой пары решений иt, vt уравнения 2.1 равен постоянной . ix В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение уравнения 2.1, отыскание других решений vt этого уравнения по крайней мере локально сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка.

Если на подинтервале, этим уравнением служит уравнение 2.7, где и - известная функция, а v - искомая.

Если поделить 2.7 на, то это уравнение запишется в виде , 2.11 а после интегрирования мы будем иметь , 2.12 где а Легко проверить, что если произвольные постоянные и а то функция 2.12 является решением уравнения 2.1, удовлетворяющим 2.7 на любом интервале J, где . х Пусть иt, vt - решения уравнения 2.1, удовлетворяющие 2.7 с. При фиксированном решением уравнения 2.1, удовлетворяющим начальным условиям и s 0, psus 1, является. Поэтому решением уравнения 2.2, удовлетворяющим условиям, служит функция 2.13 проще проверить это непосредственно.

Общее решение уравнения 2.2 получается прибавлением к 2.13 общего решения уравнения 2.1, что дает . 2.14 Если замкнутый ограниченный интервал a, b содержится в J, то, полагая мы получаем из 2.14 частное решение .2.15 Оно может быть записано в виде , 2.16 где 2.17 матрица С t зависит от, но не зависит от их производных.

В этом случае уравнение 2.1 и эквивалентная ему система 2.3 сводятся к системе . 2.28 xii Если известно частное решение уравнения 2.27, не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур см. ix и затем найти матрицу, входящую в 2.28. В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем.

Пусть уравнение 2.27 имеет решение на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в 2.1 на z, так что . 2.29 Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению. Умножая его на, мы получаем, что 2.30 или, в силу 2.27, что , 2.31 т. е. подстановка 2.29 приводит уравнение 2.1 к 2.30 или к 2.31. Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравнения 2.27, а с функции, имеющей непрерывную производную и такой, что непрерывно дифференцируема.

При этом определяется равенством 2.27, так что. Подстановка 2.29 будет называться также вариацией постоянных. xiii Подстановка Лиувилля.

В качестве частного случая рассмотрим 2.1 с р t 1 и q t и 0. 2.32 Предположим, что функция q t имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что q t 0, где sgn q t 2.33 не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных . 2.34 Тогда 2.32 сводится к 2.30, где, т. е. к уравнению 2.35 Замена независимых переменных, определенная соотношением , 2.36 переводит 2.35 в уравнение 2.37 где 2.38 а аргументом функции q и ее производных служит функция t t s, обратная к функции s s f, определяемой из 2.36 с помощью квадратуры см. 1.7. В этих формулах штрих означает дифференцирование по t, так что q dqldt. Замена переменных 2.34, 2.36 называется подстановкой Лиувилля.

Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа 2.37, в котором функция f s близка к постоянной.

Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1с. xiv Уравнения Риккати.

В п. xi, xii и xiii рассматривались преобразования уравнения 2.1 в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать 2.1 в соответствующее нелинейное уравнение или систему.

Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть , 2.39 так что. Тогда после деления 2.1 на и результат можно записать в виде . 2.40 Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим 2.1. В общем случае уравнение вида, где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати. Читателю предоставляется проверка того факта, что если и t - решение уравнения 2.1, не равное нулю на t - интервале, то функция 2.39 является решением уравнения 2.40 на J обратно, если - решение уравнения 2.40 на t-интервале, то, интегрируя 2.39, мы получаем решение 2.41 уравнения 2.1, не равное нулю ни в одной точке из J. xv Преобразование Прюфера.

В случае, когда уравнение 2.1 имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование. Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть. Поскольку и и и не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке, мы определяем с помощью второго из равенств 2.42 непрерывно дифференцируемую функцию. Соотношения 2.42 переводят уравнение 2.1 в систему , 2.43 2.44 В уравнение 2.43 входит лишь одна из неизвестных функций. Если решение уравнения 2.43 известно, то соответствующее решение уравнения 2.44 может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения 2.43 по сравнению с 2.40 состоит в том, что всякое решение уравнения 2.43 существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений 2.1 и 2.43. Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J и если - вещественное решение уравнения 2.1, то равенства 2.45 при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции, имеющие локально ограниченную вариацию и Соотношения 2.46 и 2.47 следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны.

Обратно, непрерывные решения системы уравнений 2.46, 2.47 определяют решения уравнения 2.1 с помощью соотношений 2.45. Заметим, что если q t 0, р t 0 и функция qt рt имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая, мы получаем q, а соотношения 2.45, 2.46 и 2.47 переходят в равенства 2.48 2.49 . 2.50 3. Теоремы Штурма В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида 2.1 с вещественными непрерывными коэффициентами р t 0, q t. Под решением мы будем понимать вещественное, нетривиальное т. е. решение.

Нас будет интересовать множество нулей решения u t. Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера 2.42, поскольку тогда и только тогда, когда. Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравнения 2.1 при, где и вещественны и непрерывны. Пусть функция и t имеет в точности нулей при. Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством 2.42, и. Тогда и при. Доказательство.

Заметим, что в той точке t, где u0, т. е. где, производная в силу 2.43. Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j. Отсюда следует, что если и, то при, а также что если, то при. Тем самым лемма доказана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и . 3.2 В этом случае уравнение 3.1 называется мажорантой Штурма для 3.1 на J, а уравнение 3.1-минорантой Штурма для 3.1. Если дополнительно известно, что соотношения 3.32 или и 3.31 выполняются в некоторой точке, то уравнение 3.32 называется строгой мажорантой Штурма для 3.31 на J. Теорема 3.1 первая теорема сравнения Штурма.

Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J , и пусть уравнение 3.32 является мажорантой Штурма для 3.11. Предположим, что функция является решением уравнения 3.11 и имеет точно нулей при, а функция удовлетворяет уравнению 3.12 и 3.4 при. Выражение в правой соответственно левой части неравенства 3.4 при полагается равным, если соответственно если в частности, соотношение 3.4 справедливо при, если. Тогда имеет при пo крайней мере n нулей.

Более того, имеет по крайней мере n нулей при, если при в 3.4 имеет место строгое неравенство или если уравнение 3.1 г является строгой мажорантой Штурма для 3.11 при. Доказательство. В силу 3.4 можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений 3.5 Тогда справедливы аналоги соотношения 2.43 3.6j Поскольку непрерывные функции, гладким образом зависят от, решения системы 3.6 однозначно определяются своими начальными условиями.

Из 3.2 следует, что при и всех. Поэтому последняя часть 3.5 и следствие III.4.2 означают, что для В частности, из следует, что, и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1. Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в 3.4 имеет место строгое неравенство. Тогда. Обозначим через решение уравнения 3.62, удовлетворяющее начальному условию, так что. Поскольку решение уравнения 3.62 однозначно определяется начальными условиями, при. Неравенство, аналогичное 3.7, означает, что потому. Следовательно, имеет n нулей при. Рассмотрим теперь тот случай, когда в 3.4 имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо 3.31, либо 3.32. Запишем 3.62 в виде, где Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при. Поэтому и при. Так как только в нулях функции, то отсюда следует, что при и. Следовательно, если при некотором t, то, т. е Если 3.31 не выполняется ни при каком t из отрезка, то при некотором t имеет место 3.32, и потому 3.32 справедливо на некотором подинтервале из. Но тогда на этом интервале и потому. Однако это противоречит условию. Доказательство закончено.

Следствие 3.1 теорема Штурма о разделении нулей. Пусть уравнение 3.12 является мажорантой Штурма для 3.11 на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, 3.3j. Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на. В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения 3.11 3.12. То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими. Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек.

Кроме того не могут иметь общего нуля, так как в противном случае в силу того, что решения уравнения 3.11 единственны где так что и не являются линейно независимыми.

Упражнение 3.1. Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p1tp2t 0, q2tq1t. Предположим, что u1t 0 при t1 t2 t3 и утверждение неверно например, u2t 0 при t1 tt2. Умножая p1tuq1tu0, где uu1, на u2, а p2tuq2tu0, где uu2, на u1, вычитая и интегрируя по t1,t2, получаем ptu1u2-u1u20, при t1tt2, где pp1p2. Это означает, что u1u20 поэтому u1u2 0 при t1 tt2, т.е. получается, что u1t2 0 чего быть не может.

Решение p1tuq1tu0, uu1 p1tu1q1tu10. Умножим левую часть равенства на u2, получим u2p1tu1q1tu1u20. Во втором уравнении проделаем соответствующие операции p2tuq2tu0, u2u p2tu2q2tu20. Умножим левую часть равенства на u1, получим u1p2tu2q2tu1u20. Вычитаем из первого уравнения второе, получим u2p1u1q1u1u2-u1p2u2-q2u1u20, pp1p2 u2pu1q1u1u2-u1pu2-q2u1u20 u2pu1-u1pu2u1u2q1-q20 Упростим это уравнение, u2pu1pu1-u1pu2pu2u1u2q1-q20 Раскроем скобки, получим pu1u2 pu1u2- pu1u2-pu1u2u1u2q1-q20. Сравнивая с формулой 2.2, получаем pu1u2-u1u2u1u2q1-q20 pu1u2-u1u2-u1u2q2-q10 pu1u2-u1u2u1u2q2-q10. Проинтегрируем это уравнение по t1,t, получим pu1u2-u2u1dt u1u2q2-q1dt, где u1u2 0, q2-q10. Значит pu1u2-u1u20. Т.о. u1u20 u1u2 0. Упражнение 3.2. с Проверьте, что вещественные решения ut 0 уравнения ut2u0 117 имеет не более одного нуля при t 0, если, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t 0, если. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t0 и t. Решение в 1 было рассмотрено упражнение 1.1 с, где показали, что функция ut является решением уравнения ut2u0 тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению -1 0. Решая его получили. Если 14, то корни 1 и 2 комплексные, т.е. ut12cos -14 ln tc1c2sin -14 ln t имеют бесчисленное множество нулей.

В частности, если положить c1sinu, c2cosu, то получим u t12sin u cos -14 ln tcos u sin -14 ln t t12 sin u -14 ln t. Если 14, то решение uс1t12 c2t12- имеют не более одного нуля. Так же, если 14, то решение uc1t12c2t12ln t имеют не более одного нуля. d Рассмотрим уравнение Бесселя vvt1-2t2v0, 3.10 где -вещественный параметр.

Вариация постоянных ut12v переводит уравнение 3.10 в уравнение u1-t2u0, где 2-14 3.11 Проверим истинность этого утверждения ut12v, следовательно vut12ut-12. Найдм первую производную vut-12 ut-12ut-12ut-12-12ut-32. Теперь вторую производную vut12 -12ut-32 ut-12 ut-12 -12ut-32ut-32 ut-12 12ut-32-12ut-3234uut-52 ut-12-ut-3234ut-52. Подставляя в уравнение 3.10, получим vvt1-2t2v0. ut-12-ut-3234ut-521tut-12-12ut-321-2t2ut -120 t-12u-ut-134ut-2ut-1-12ut-2u1-2t20 u14ut-2u1-2t20 uu-2ut214ut-20 uu-2u-14ut20 uu-2-14ut20 uu-ut20 u1-t2u0, где 2-14. Покажем, что нули вещественного решения vt уравнения 3.10 образуют при t 0 такую последовательность t1 t2 , что tn-tn-1 при n. Так как в уравнении u1-t2u0, т.е. уравнение u1-2-14t2u0 - постоянное число, то при 14 и при t достаточно большое, то выражение 1-2-14t21, т.е. если уравнение u1-2-14t2u0 сравнить с уравнением uu0, то расстояние между последовательными нулями стремится к, т.е. tn-tn-1 при n. Теорема 3.2 вторая теорема сравнения Штурма.

Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при. Тогда соотношение 3.4 выполняется при где выражение в правой соответственно левой части 3.4 при полагается равным, если соответственно Кроме того, при в 3.4 имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1. Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке. Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство.