Брянский городской лицей 1 Учебно-исследовательская работа по математике на тему Комплексные числа Выполнил ученик 10 физико- математического класса Петрухин Вячеслав Учитель Тюкачева О.И. Брянск, 2003 Оглавление 1.Комплексные числа 2.Свойства операций над комплексными числами 3. Комплексная плоскость 4. Модуль комплексного числа 4 5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел 6. Аргументы комплексного числа 7.Алгебраическая и тригонометрическая формы. комплексного числа 8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме 9. Возведение в степень и извлечение корня 10.Квадратные уравнения 11.Использованная литература 14 В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, n, В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами.
Что де касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.
Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа. 1.Комплексные числа Комплексными числами называются выражения вида a ib, где a и b любые действительные числа, i некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения а два комплексных числа a ib и c id равны тогда и только тогда, когда ac и bd б суммой чисел a ib и c id называется число a c ib d в произведением чисел a ib и c id называется число ac bd iadbc. Комплексные числа принято обозначать одной буквой чаще всего буквой z или w. Равенство z a ib означает, что комплексное число a ib обозначено буквой z. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z a ib и обозначается Re z пишут Re z a или Re za или Rea ib a. Число b называется мнимой частью числа z a ib и обозначается Im z, пишут Im z b или Ima ib b. Символ I называется мнимой единицей. Заметим, что операции сложения и умножения над числами a i0 проводятся так же, как над действительными числами.
Таким образом, отождествив число a i0 с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a ai0. Числа вида 0 ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib. На основании формулы 2 найдм значение выражения i2ii i2 ii 0i10i1 -1i0-1. Таким образом, i2-2.
Свойства операций над комплексными числами . 1. Коммутативность сложения z1 z2 z2 z2. Ассоциативность сложения z1 z2z3 z1 z2 z3 3. z0z. 4. Коммутативность умножения z1 z2 z2 z5. Ассоциативность умножения z3 z1 z2 z1 z2 z6. Дистрибутивный закон z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3. 7. 1zz. 8. Для любых двух комплексных чисел z1 и z2, где z, существует такое число z такое, что z1z z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается. Деление на 0 невозможно. 3.
точку, абсцисса которой равна Re z a, а ордината равна Im z b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами a, b поставим в соответ... . Комплексная плоскость. 4.
Модуль комплексного числа. Модулем комплексного числа z a ib называется длина вектора, соответств... б Пример 2. 5. Пусть z1a1 ib1 и z2a2 ib2.Им соответствуют векторы с координатами a1,b...
Из определения тригонометрических функций следует, что если jarg aib, ... Заметим, что никакая точка большей окружности не приближена к меньшей ... При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что... Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения а б в Реш... 8.
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Пусть , Тогда Таким образом, модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения. Пусть, тогда Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого. 9.
Например, используя запись, следует позаботиться о том, чтобы было ясн... Запишите в тригонометрической форме а, б , в. Для вывода формулы 11 использовался прим выделения квадрата трхчлена с... Решить уравнение а б Решение а Пусть, тогда уравнение примет вид, отку... Используя вторую формулу Муавра, получим Пример10.
Использованная литература 1. Пособие по математике для поступающих в вузы пособие Кутасов А.Д Пиголкина Т.С Чехлов В.И Яковлев Т.Х. под редакцией Яковлева Г.Н 3-е издание М. Наука, 1998, Глава X. 2. Лекции и задачи по элементарной математике Болтянский В.Г Сидоров Ю.В Шабунин М.И - М. Наука, 1971. ГлаваIV.