Возведение в степень и извлечение корня

Возведение в степень и извлечение корня.

Формула 6 для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей.

Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если -аргументы чисел соответственно, то Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень 8 Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула 8 называется формулой Муавра. Число называется корнем степени, из числа w обозначается, если Если w0, то при любом n уравнение имеет одно и только одно решение z0. Пусть теперь. Представим z и w в тригонометрической форме Тогда уравнение примет вид Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно, или. Таким образом, все решения уравнения даются формулой В самом деле, придавая числу k в формуле 9целые значения, отличные от 0, 1 n-1, мы не получаем других комплексных чисел.

Формула 9 называется второй формулой Муавра.

Таким образом, если, то существует ровно n корней степени n из числа w все они содержатся в формуле9. В частности, если 2, то уравнение имеет два корня то есть эти корни симметричны относительно начала координат. Также из формулы 9 нетрудно получить, что если то точки, изображающие все корни уравнения, являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в точке z0 и радиусом. Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла.

Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например, используя запись, следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чисел i и-i, или одно, и, если одно, то какое именно. Пример 7. Запишите в тригонометрической форме а, б , в. Решение а б Так как, то, откуда. Так как, то, откуда в Так как, то, откуда . 10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения 10 с действительными коэффициентами a, b, c. Там было показано, что если дискриминант уравнения 10 неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой где 11 В случае, если, говорилось, что, уравнение не имеет решений. Для вывода формулы 11 использовался прим выделения квадрата трхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители откуда и получалась формула 11. Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, c являются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.

Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение всегда разрешимо. Если уравнение имеет один корень, уравнение имеет два корня.

Во всех случаях для корней квадратного уравнения справедлива формула где под подразумеваются все значения корня. Пример 8. Решить уравнение а б Решение а Данное уравнение является квадратным. По формуле корней квадратного уравнения имеем Для определения всех значений положим Тогда и, следовательно, x и y удовлетворяют системе причм x и y действительные числа. Решим систему Заметим, что x0 решением системы не является.

При получим Решим уравнение x415x2-160 квадратное уравнение относительно x2, откуда Вернмся к системе Поэтому б Данное уравнение является квадратным. По формуле корней квадратного уравнения имеем Для определения всех значений положим Тогда и, следовательно, x и y удовлетворяют системе причм x и y действительные числа. Решим систему Заметим, что x0 решением системы не является.

При получим Решим уравнение x4-16x2-2250 квадратное уравнение относительно x2, откуда Вернмся к системе Поэтому Пример 9. Решить уравнение а б Решение а Пусть, тогда уравнение примет вид, откуда по теореме, обратной теореме Виета получим Возвращаясь к z, получим 1 . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим 1 . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим Следовательно, 2 . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим Следовательно, бПреобразуем уравнение Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим Пример10. Решите уравнение Решение Решим уравнение как квадратное относительно z2 D Пусть zaib, тогда, а уравнение имеет вид Пусть, тогда, откуда Пусть, тогда, а значит получим, что Ответ