Министерство образования и науки Саратовской области Муниципальное образовательное учреждение «Гимназия №87» Число е Творческая работа ученицы 11«а» класса гимназии №87 Березиной Евгении Учитель: Заико И. В. Саратов 2007 Содержание Введение 3 Глава 1 Леонардо Эйлер как великий математик 5 Глава 2 Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность 2.1 Определение числа e 2.2 Приближенное вычисление значения числа e 2.3 Трансцендентность числа e 14 Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента) 16 Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение 19 Глава 5 Применение числа e в математических задачах 22 Заключение 25 Список использованной литературы 26 Приложение 27 Приложение 28 Приложение 29 Приложение 30 Приложение 31 Приложение 32 Введение Это малое е Так не нравится мне: Если честно сказать, Можно только назвать Неприличным его поведенье Дж. А. Линдон В высшей математике огромную роль играет число e, именуемое так же числом Эйлера в честь «давшего ему жизнь» великого математика Леонарда Эйлера(1707 – 1783 гг.). Всю свою жизнь он занимался наукой, и подтверждением этому служит многочисленные теоретические положения, невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых однако только немногие фигурируют в литературе под его именем: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера подстановки, постоянная Эйлера, уравнение Эйлера, уравнения Эйлера (используются в гидромеханике), формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера в математике, формула Эйлера-Маклорена, формулы Эйлера–Фурье, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы и, разумеется, число Эйлера.
Под числом e понимают предел, который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы, где θ - это отношение разности (yn является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1). При этом число e является трансцендентным (иррациональным), а значит, оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.
Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y = ex оказывается настолько важной, что, в отличие от y = ax (где a≠e), она получила особое название – экспоненциальная функция, или кратко экспонента.
Значение ex так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства (если x>0 и n N) или (если x<0 и n N). Кроме того, важным является и то, что именно число Эйлера является основанием натуральных логарифмов, что, однако, не придает натуральным логарифмам каких- либо отличительных свойств.
Встречаясь буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.
В данной работе представлены краткий обзор основных событий творческой жизни Леонарда Эйлера, суть числа e, представлен способ вычисления его приближенного значения и приближенного значения ex, так же показано проявление числа e в реальной жизни и его использование в математике.
Глава 1 Леонард Эйлер как великий математик Началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.) (приложение 1). Эйлер принадлежит к числу тех великих людей, результат работы которых стал достоянием всего человечества.
До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.
Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых оставил свой след этот, безусловно, великий учёный. Но в первую очередь он был математиком. Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков.
Даже Лаплас нередко повторял: «Читайте, читайте Эйлера, он – наш общий учитель». И труды Эйлера действительно с большой пользой для себя читали и изучали и Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855гг.), и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.
Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли (1654 – 1705гг.). Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. В свою очередь, Леонардо увлёкся математикой и задавал отцу множество вопросов. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником.
Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонардо по иному пути. Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И неудивительно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли.
Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. Восьмого июня 1724 года семнадцатилетний Леонард Эйлер произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра (в XIX веке в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии). В последующие года юный Эйлер написал несколько научных работ.
В 1725 году по просьбе Петербургской Академии Эйлер, не считаясь со временем, составил на немецком языке прекрасное «Руководство к арифметике», которое вскоре было переведено на русский и сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740г. первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров.
На русском языке это было первым изложением арифметики как математической науки. Позднее он стал профессором физики в этой гимназии, затем академиком и профессором чистой математики. Прекрасно зная ум Эйлера, на его свадьбу 1733 года на дочери живописца Екатерине Гзель ему преподнесли сочиненные по случаю стихи: В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер удивит весь мир, Что только цифры и расчёты Его единственный кумир. Теперь совсем в другом он мире, Где чувства, счастье и любовь И то что дважды два – четыре, Доказывать придётся вновь! Эйлер отличался феноменальной работоспособностью.
Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу самостоятельно всего за 3 дня. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой» философски заметил он. До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение « Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении », изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу.
Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. В 1741 году Эйлер принимает предложение прусского короля, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях и в соответствии с поданным Эйлером прошением он был «отпущен от Академии» и утверждён почётным академиком.
Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии – и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию. В июне 1741 году Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии.
Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов. В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: « Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости». Эйлер оправдал надежды своего учителя.
Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» 1748 г «Морская наука» 1749 г «Теория движения луны» 1753 г «Наставление по дифференциальному исчислению» 1755г а так же десятки статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения. Почти сто лет спустя, когда во многих странах – и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов.
Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов. Вступившая в 1762 году на русский престол Екатерина II, предложила Эйлеру управление математическим отделением и звание конференц-секретаря Академии. Фридрих долго не хотел разрешать ученому возвращаться в Россию, в ответ на что Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии. 30 апреля 1766 году Фридрих разрешает наконец-то ему уехать в Россию.
Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей, которая поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза – он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки.
В мае 1771 года в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо.
Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной. В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию – и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились наблюдать девять местных светил медицины, но вся операция заняла три минуты и Эйлер снова стал видеть. Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать – лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако для Эйлера было просто невозможно «не вычислять», и уже через несколько дней после операции он снял повязку.
И вскоре потерял зрение снова, на этот раз навсегда. Несмотря на это, отнёсся он к такому неприятному событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе. В 1773 году. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс (1755 – 1825 гг.). Это было большой удачей для Эйлера, так как Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера.
Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет, то есть до самой своей смерти, Эйлер именно ему диктовал свои труды. В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье.
В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами ряда своих учеников». В сентябре 1783 году учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи. Беседуя с А. И. Лекселем (1740 – 1784 гг.) о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» – и потерял сознание.
Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер. Главные понятия, созданные Эйлером, это точки Эйлера, прямая Эйлера и окружность Эйлера в треугольнике; теорема Эйлера для многогранников, метод ломаных Эйлера (один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет), Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера), углы Эйлера (они используются главным образом в механике при описании движения тел), и, разумеется, число Эйлера, то есть число e. Именно Эйлер определил число e как бесконечную дробь Глава 2 Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность 2.1 Определение числа e Рассмотрим числовую последовательность (xn), заданную формулой. Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность (yn), заданную формулой. Докажем, что (yn) – убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность (an) называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство ). Действительно, ; . Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем: . Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим. Таким образом, , а значит. Теперь докажем ограниченность снизу (yn), для этого воспользуемся неравенством Бернулли: . Поскольку (yn) – ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел.
И, наконец, докажем сходимость последовательности : Предел последовательности (xn)= и называют числом e, то есть числом Эйлера. 2.2
Приближенное вычисление значения числа e. Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и 2,718 281 8... Таким образом, имеем xn<yn≤e, отсюда видно, что и. . Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного ...
Умножив обе части последнего равенства на n по сокращении знаменателей... Как и y = ax (где a≠e) при a>1, функция y=ex монотонно во... Имеем: = 1 + х – истинно, поскольку y = 1+x – это касательная к график... 1) Проверим его справедливость при n = 1, имеем: - истинно. Это неравенство выполняется при n = 5, поэтому достаточно взять по пят...
Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, кот... Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает п... Десять мужчин сдали в гардероб свои шляпы. Прежде чем выдать номера, г... К счастью, существует один простой, хотя и несколько необычный, метод ...
приложения 5 видно, что вероятность того, что никто не получит свою шляпу, очень быстро достигает предела, равного.