ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям. Теперь представим себе, что знакомый предприниматель П, занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего.

Возникает вопрос: при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П. Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов.

Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 2у1 + 4у2 + 2у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы продукции первого вида. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше 2у1 + 4у2 + 2у3  36. Аналогично, для трех оставшихся видов продукции: 3у1 + 2у2 + 8у332 4у1 + 7у310 у1 + 2у2 13 Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 103у1 + 148у2 + 158у3 рублей.

При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1, у2, у3, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок у(у1, y2, y3) минимизирующий общую оценку всех ресурсов f = 103у1 + 148у2 + 158у3 (1) при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции 2у1 + 4у2 + 2у3  36 3у1 + 2у2 + 8у332 (2) 4у1 + 7у310 у1 + 2у2 13 причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y10, y20, y30. (3) Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений (х1, х2, х3, х4) и (y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий x 1 (2у1 + 4у2 + 2у3 - 36) = 0 y1 (2x1 +3x2 + 4x3 + x4 - 103) = 0 x 2 (3у1 + 2у2 + 8у3 - 32) = 0 y2 (4x1 +2x2 + 2x4 - 148) = 0 x 3 (4у1 + 7у3- 10) = 0 y3 (2x1 +8x2 + 7x3 - 158) = 0 . x 4 (у1 + 2у2 - 13) = 0 Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0, x2>0. Поэтому 2y1 + 4y2 + 2y3 - 36 = 0 3y1 + 2y2 + 8y3 - 32 = 0 Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у1=0, то приходим к системе уравнений 4y2 + 2y3 - 36 = 0 2y2 + 8y3 - 32 = 0 откуда следует у2=8, у3=2. Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=0; у2=8; у3=2, (4) причем общая оценка всех ресурсов равна 1500. Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи.

Важен экономический смысл двойственных оценок.

Например, двойственная оценка третьего ресурса у3=2 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2 единицы.

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА" При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства& #61618;. Будем их заказывать дополнительно.

Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H + Q-1T 0. Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (0, t2, t3), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 8t2 + 2t3 (1) при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы) предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида (3) причем по смыслу задачи t2 0, t3 0. (4) Переписав неравенства (2) и (3) в виде: (5) из условия (3) следует t2148/3, t3158/3 (6) приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4). Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2. Программа расшивки имеет вид t1=0, t2=14, t3=0 и прирост прибыли составит 112. Сводка результатов приведена в таблицe 2. сj 36 32 10 13 b x4+i yi ti 2 3 4 1 103 5 0 0 aij 4 2 0 2 148 0 8 14 2 8 7 0 158 0 2 0 xj 31 12 0 0 1500 112 j 0 0 4 3