Прикладная математика

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине "Прикладная математика" Вариант Б Курс 11 Руководитель Онищенко А. М. Оценка 5 Москва 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 7 ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 7 ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА" 8 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 9 ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов.

Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли (1) Требуется составить производственную программу (x1, x2, x3, x4), максимизирующую прибыль (2) при ограничениях по ресурсам: (3) где по смыслу задачи (4) Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений (5) где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.

Среди всех решений системы уравнений (5), удовлетворяющих условию неотрицательности х10, х20,… ,х50,…, х70. (6) надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение. Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными.

Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=103, x6=148, x7=158 (7) первые четыре компоненты которого определяют производственную программу x1=0, x2=0, x3=0, x4=0(8) по которой мы пока ничего не производим. Из выражения (2) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая.

Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (5) общее решение (9) Мы пока сохраняем в общем решении х2=х3=х4=0 и увеличиваем только х1. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств или т.е. 0  х1  37 Дадим х1 наибольшее значение х1 =37, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (9). Получаем для системы уравнений (5) частное неотрицательное решение х1=37, х2=0, х3=0, х4=0; x5=29; x6=0; x7=84 (10) Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (5), для получения которого достаточно было принять в системе (5) неизвестную х1 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как, а разрешающим элементом будет а21=4. Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1. Č 0 Базис Н x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Пояснения 0 Х5 103 2 3 4 1 1 0 0 z0 = H 0 Х6 148 4 2 0 2 0 1 0 0 Х7 158 2 8 7 0 0 0 1 z0 -z 0 - z -36 -32 -10 -13 0 0 0 0 Х5 29 0 2 4 0 1 -1/2 0 0 Х1 37 1 1/2 0 1/2 0 ¼ 0 36 Х7 84 0 7 7 -1 0 -1/2 1 min (29/2; 64;12)=12 z0 -z 1332-z 0 -14 -10 5 0 9 0 min (-14;-10) = -14 36 Х5 5 0 0 2 2/7 1 -5/14 -2/7 0 Х1 31 1 0 -1/2 4/7 0 2/7 -1/14 14 Х2 12 0 1 1 -1/7 0 -1/14 1/7 z0 -z 1500-z 0 0 4 3 0 8 2 все j 0 Применим известные формулы исключения a`ij=aij – (ais/ars)*arj a`iq=aiq – (ais/ars)*arq b`i=bi - (ais/ars)*br b`r=br/ars s=1, r=2 a`12=3-2/4 *2= 2 a`13=4 a`14=1-2/4 *2=0 a`15=1 a`16=0-2/4*1= -2/4 a`17=0 a`32=8-2/4* 2= 7 a`33=7 a`34=0-2/4* 2= -1 a`35= 0 a`36=0-2/4 *1= -2/4 a`37=1 a`21=a21/a21=1 a`22=a22/a21=1/2 a`23=0 a`24=1/2 a`25=0 a`26=1/4 a`27=0 a`41= 0 a`42= -14 a`43= -10 a`44=5 a`45=0 a`46=9 a`47=0 a`11=a`31=0 b`1=103-148/4*2=29 b`2=148/4=37 b`3=158-148/4*2=84 Получаем для системы уравнений (5) новый предпочитаемый эквивалент 2x2 + 4x3 + x5 - 1/2x6 = 29 x1 + 1/2x2 + 1/2x4 + 1/4x6 = 37 (11) 7x2 + 7x3 - x4 -1/2x6 + x7 = 84 Приравняв к нулю свободные переменные х2, х3, х4, х6, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (10), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу х1=37, х2=0, х3=0, х4=0. (12) Представим соотношение (2) в виде уравнения -36х1 - 14х2 - 10х3 - 13х4 = 0 – z (13) и припишем его к системе (5). Получается вспомогательная система уравнений (14) Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (5) мы выбрали х1. Этой переменной в последнем уравнении системы (14) отвечает наименьший отрицательный коэффициент 1= -36. Затем мы нашли разрешающий элемент а21=4 и исключили неизвестную х1 из всех уравнений системы (5), кроме второго.

Далее нам пришлось х1 исключать и из функции (2). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (14). Очевидно, достаточно умножить второе уравнение системы (14) на 9 и прибавить к четвертому; получим -14х2 - 10х3 + 5х4 - 9х6 = 1332 – z (15) Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (14) к виду (16) Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (11) системы уравнений (5) и определяют базисное неотрицательное решение (10) и производственную программу (12), а из последнего уравнения системы (16) получается выражение функции цели через свободные переменные.

Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (5) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию z=1332+14x2+10x3-5x4-9x6 через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х2, ставшую базисной.

Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент &#61508;j при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (16), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. Мы нашли в последнем уравнении системы (16) наименьший отрицательный коэффициент min(&#61508;j<0) = min(-14 10) = -14 = &#61508;2. Поэтому принимаем х2 в системе (11) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по (17) и исключаем х2 из всех уравнений системы (11), кроме третьего уравнения.

Укажем разрешающий элемент а32=7. Теперь мы будем преобразовывать вспомогательную систему (16), по формулам исключения. a`ij=aij – (ais/ars)*arj a`iq=aiq – (ais/ars)*arq b`i=bi - (ais/ars)*br b`r=br/ars s=1, r=2 a`11=0 a`13=4-2/7*7=2 a`14=0+2/7 *1=2/7 a`15=1 a`16= -5/14 a`17=0-2/7*1=-2/7 a`21=1 a`23= -1/2 a`24=4/7 a`25=0 a`26=2/7 a`27= -1/14 a`31= a31/a32=0 a`32=1 a`33= a33/a32=1 a`34= -1/7 a`35= 0 a`36=-1/14 a`37=1/7 a`41= 0 a`42= -14+2*7=0 a`43= 4 a`44=3 a`45=0 a`46=8 a`47=2 a`12=a`22=0 b`1=29-84/7*2=5 b`2=37-84/7*1/2=31 b`3=84/7=12 Эта система преобразуется к виду 2 x3 + 2/7 x4 + x5 – 5/14 x6 – 2/7 x7 = 5 x1 - &#189; x3 + x4 + 2/7 x6 – 1/14 x7 = 31 (18) x2 + x3 - 1/7 x4 – 1/14 x6 + 1/7 x7 = 12 4 x3 + 3 x4 + 8 x6 + 2 x7 = 1500 - z Первые три уравнения системы (18) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (5) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи x1=37, x2=0, x3=0, x4=0, x5=29, x6=0, x7=84 (19) т.е. определяют производственную программу x1=37, x2=0, x3=0, x4=0 (20) и остатки ресурсов: первого вида х5=5 второго вида х6=0 (21) третьего вида х7=0 Последнее уравнение системы (18) мы получаем, исключая х2. В последнем уравнении системы (18) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного.

Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные z = 1500 - 4 x3 - 3 x4 - 8 x6 - 2x7 (22) то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj&#61619;0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда x3=0, x4=0, x6=0, x7=0 (23) Это означает, что производственная программа (20) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль zmax = 1500 (24) Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы.

Например, коэффициент &#61508;3=4 при переменной х3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 4 единиц.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x3=0, x4=0. Предположим, что четвертую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала.

Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию.

Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом: Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение производственной программы (x1=0, x2=0) &#61614; (x1=37, x2=0) &#61614; (x1=31, x2=12) на графике означает движение от одной вершины многогранника допустимых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника.

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по вы... столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производс... Аналогично, для трех оставшихся видов продукции: 3у1 + 2у2 + 8у3&#... Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симп...

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов ... имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрыт... Положим, что р1 = 0. Это будет 31-11-12-22-23-33.