Реферат Курсовая Конспект
Критерий полноты системы булевых функций (теорема - раздел Математика, ДИСМАТ. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ Поста)- Система...
|
Поста)- системаполна в том и только в том случае, если для каждого рзклассов в системе существует функция, не
Принадлежащая этому классу, иначе говоря, системаполна, если рыполнены5 условий
Функции - не обязательно различные
Предварительно рассмотрим 3 утверждения, которые 'демонстрируют, как суперпозициями функций системы, удовлетворяющей условию теоремы Поста, выразить функции известных полных систем Лемма 1.Суперпозициями несамодвойственной функции
и функцииможно получить функцию-константу Если, то существует набортакой, что
Построим суперпозицию, где вместо
|ждого переменного функцииподставляется либо X , либоЮгда[ввиду (*}] =
Таким образома это означает, чтс- константа
Следствие.Из функциии константы можно получить другую
рнстанту
Лемма 2.Суперпозициями немонотонной функции
и функций-констант 0 и 1 можно получить функциюЕсли , то существуют наборы и
такие, чтои
, т.е. . Пусть- набор,
где каждое- либо переменная X , либо константа и определяется следующим образом:
Отметим, что если X - О, то; если X = 1, то. Пусть
. Тогда, т.е.
Лемма 3.Суперпозициями нелинейной функциифункциии функций-констант 0 и 1 можно получить конъюнкцию
Построим для функции многочлен Жегалкина. В силу нелинейностисреди слагаемых найдется содержащее не менее 2 множителей. Пусть это переменные Тогда все слагаемые
разбиваются на 4 группы: содержащие обе переменныетолько
одну из них и не содержащие ни одной. Объединяя
слагаемые и вынося за скобки соответствующие множители в каждой j из трехпервых групп, получим:
Функции зависят от переменных, причем не
равна тождественно 0, - иначе не было бы ни одного слагаемого с произведением .. Подставим в функциювместо переменных
тот набор констант, для которого;
при этом функции обращаются в некоторые константы;
обозначим их соответственно . Получим функцию двух
переменных
Теперь произведем еще одну подстановку: в функцию подставим функцию вместо вместо . в
Зависимости от значенийкаждая из этих функций представляет
собой либо, так что фактически мы подставляем либо
Переменную, либо ее отрицание. Получаем функцию, равную
[после раскрытия робок]
[после сокращений] т.е. сумму по модулю 2
конъюнкции и константы . Если последняя равна 0, то
построение закончено; в противном случае, т.е. если
то нужно подставитьв функцию:
; Теперь доказательство теоремы Поста уже достаточно просто. Необходимость следует из сделанного выше замечания: если все функции системы принадлежат какому-нибудь из 5 классов (обозначим его), то в силу замкнутости классавсе суперпозиции функций системы также принадлежат ему; в то же время в есть функции, соторые не принадлежатчто означает неполноту системы.
Достаточность выводится из лемм 1 -3. Пусть в системе есть функции ' (некоторые из них могут
ювпадать). Суперпозиция - функция одной
юременной, имеющая столбец значений ; аналогично,
- функция со столбцом значений
Возможны два случая.
- функция . По
лемме 1, из функцийможно получить константы 0 и 1.
(2)в противном случае. Тогда
По лемме 2, из функцийи констант можно получить функцию
Как видим, в обоих случаях из функций системы могут быть построены обе константы и отрицание.
По лемме 3, из функций, отрицанияи констант 0 и 1
можно получить конъюнкцию . В свою очередь, конъюнкция и
отрицание образуют полную систему, чем и завершается доказательство теоремы Поста.
Для проверки конкретной системы на полноту можно заполнить для функций системы так называемую таблицу Поста: см. табл.9, в которой исследуется система("+" означает принадлежность
функции данному предполному классу).
Принадлежность трех данных функций классампроверяется
по их таблицам очень просто. Также несложно проверить принадлежность их классу М (заметим, что если и не равна 0 тождественно, то
она не монотонна). Очевидно также, что , свойство
следует из соотношения
Функцияне самодвойственна, поскольку двойственная
/
ей, как мы знаем, другая функция - конъюнкция. Далее,
нелинейна, так как ее многочлен Жегалкина содержит
произведение . Легко проверяется также заполнение последней
строки табл.9 - для функции-константы 1. Наконец, согласно теореме Поста, для полноты системы в каждом столбце таблицы Поста должен быть хотя бы один минус.
В таблице 11 для каждого из пяти рассмотренных выше классов знаками "+" и '•'-" показана принадлежность ему ряда известных функций: всех 4 функций одной переменной, 6 функций двух переменных и 2 функций трех переменных. В отличие от предыдущей таблицы функции здесь представлены столбцами. Заметим, что в каждой Строке таблицы имеется знак "-"; другими словами, для каждого из пяти классов есть не принадлежащая ему функция и, следовательно, ни один из них не совпадает с множеством всех логических функций , а каждый является частью
Несколько примеров полных систем рассмотрены нами в §1. Отметим интересный факт: из табл.11 можно заключить, что система, Состоящая из одной функции - штриха Шеффера - полна.
Упражнение.Проверьте, чтоУбедитесь теперь, что
Упражнение.С помощью табл 11 установите, какиеиз цижеследующих систем является функционально полными:
Система функций G называется независимой,если никакая функцияэтой системы не выражается через остальные, т е.не принадлежит замыканию системыНезависимая система
функций G называется базисом замкнутого классаК , если всякая функция есть суперпозиция функций из G . Можно определить
понятие базиса и так базис замкнутого классаК - система функций, замыкание которой равно К , причем любое подмножество К (кроме самого К ) уже не обладает этим свойством.
Примеры: 1) Система- независимая.
Упражнение.Убедиться в этом, используя соотношенияи замкнутость классов L и Т .
2) Системане является независимой, поскольку, как мы знаем,можно выразить черезили, наоборот-черези
3) Система- независима, в чем можно убедиться, построив для нее фрагмент таблицы Поста (табл.10). Действительно, для каждой из трех функций в этой таблице имеется класс, которому она не принадлежит, но принадлежат две остальные и, следовательно, все их суперпозиции
В примерах 1-3 представлены полные системы функций. Теперь рассмотрим пример независимой системы для замкнутого класса, не
совпадающего с
Система не полная, так как обе функции линейны, и
представляет базис класса L Действительно,
а каждая линейная функция
выражается черезНезависимость функций системы
также легко проверить
Некоторые следствия теоремы Поста.
Следствие 1. Всякий замкнутый класссодержится целиком
хотя бы в одном из 5 предполных классов иначе он
представлял бы полную систему и, в силу замкнутости, равнялся бы
Следствие 2объясняет название предполныхклассов еслик какому-нибудь из них, допустим(для других классов рассмотрение аналогичное) добавить любую не принадлежащую ему функциюто Замыкание системысовпадает с Действительно, система
шире, чем S и, в то же время, не может входить в какой-либо из остальных 4 классов, так как тогда в нем содержался бы целиком класс S , что противоречит замечанию в конце предыдущего параграфа
Иначе говоря, между предполным классом и не может существовать промежуточный замкнутый класс. Отсюда -
Следствие 3.Всуществуют лишь 5 предполных классов, т е. обладающих свойством, сформулированным в следствии 2 Это рассмотренные • - 'и
Следствие 4.Из лемм 1-3 и доказательства теоремы можно заключить, что если в системе функций присутствуют константы 0 и 1, то для ее полноты достаточно, чтобы в ней содержались немонотонная функция и нелинейная функция.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "ДИСМАТ. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Критерий полноты системы булевых функций (теорема
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов