Решение уравнений устойчивости метода перемещения

Предположим, что все элементы заданной системы изначально имеют прямолинейную форму и сопряжены между собой под прямым углом. В данном случае при действии узловых нагрузок начальная форма равновесного состояния системы соответствует докритической стадии работы конструкций, в поперечных сечениях элементов системы возникают только продольные силы и они работают либо на сжатие, либо на растяжение.

Как и для обычных стержней, продольными деформациями оси элементов заданной системы пренебрегаем.

Принимая, что рассматриваемая рамная система с произвольным п раз кинематически неопределимой системой (n= 1, 2, 3,..), канонические уравнения метода перемещений для нового равновесного, т.е. критического состояния, как и в классическом методе перемещений записывается в форме

При расчетах на устойчивость система преобразуется. Так как мы рассматриваем только случай действия узловых нагрузок, то во введенных связях они никакой реакции не вызывают. То есть в данном случае следует принимать

Единичные реакции , как и при расчете обычных статических задач, определяются из условия равновесия узлов или отдельных частей основной системы при заданных единичных смещениях. В узловых сечениях элементов значения моментов и поперечных сил в общем случае являются функциями от параметра внешних продольных сил v. Следовательно, и единичные реактивные усилия во введенных связях гik в общем случае являются функциями от параметра v и обозначаются rik(v).

С учетом выше изложенного система преобразуется и записывается следующим образом:

Так как в новом равновесном (критическом) состоянии, составные элементы искривляются, следовательно, вес неизвестные Zj заведомо не могут быть равны нулю. Поэтому определитель однородной системы алгебраических уравнений составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть равен нулю

Раскрыв определитель) и приравняв его нулю, получим трансцендентное уравнение относительно параметра критической нагрузки v. Решив это уравнение относительно v и по минимальному значению корня v = vmin, определяют критическое значение внешних сил.