Если , то пишут .

При формулировке математических утверждений часто используются необходимые и достаточные условия. Если из утверждения (условия ) следует утверждение (положение) , то пишут , при этом утверждение называется достаточным условием для , а утверждение - необходимым условием для .

Пример. Утверждение - «число делится на 4», а - «число - четное». Очевидно, что , при этом делимости на 4 достаточно для четности числа, но вовсе не обязательно, притом, что кратное четырем число обязано быть четным.

Эти утверждения можно записать с кванторами следующим образом:

- с кванторами: ;

- с кванторами: .

Заметим в первый раз, что при отрицания утверждения кванторы и символы меняются на противоположные.

Если одновременно верны утверждения и , то пишут и называется необходимым и достаточным условием для .

Пример: «сумма цифр целого числа делится на три» «число кратно трем».

Метод математической индукции

Если предложение , где , истинно для и из предположения о том, что оно истинно для некоторого натурального числа вытекает, что оно истинно для следующего числа , то предложение верно для любого .

Задача. Доказать равенство

.

Решение. 4При равенство очевидно.

Предположим, что формула верна для , то есть

.

Покажем, что тогда верно

.

В самом деле,

.3

Задача. Доказать равенства

;

.

Задача. Доказать неравенство Бернулли:

,

где - числа одного и того же знака, большие .

Доказательство. При неравенство очевидно. Пусть неравенство справедливо при . Покажем его справедливость при . Имеем :

,

так как .

Бином Ньютона

Так называется очень важная формула, которой мы часто будем пользоваться.

Сделаем сначала несколько предварительных замечаний.

Если из множества, содержащего различных элементов (например, группы людей) мы будем выбирать подмножества, состоящие из элементов (группы представителей), то число разных групп (представителей) называется числом сочетаний из по и обозначается . Примем без доказательства, что

(по определению ).

Задача. Доказать, что .

Решение: 4

.3