Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Определение. Функция 
называется первообразной по отношению к функции 
на некотором промежутке, если на этом промежутке функция дифференцируема и удовлетворяет уравнению 
или, что то же самое, соотношению 
.
Определение. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается 
. Произведение 
называется подынтегральным выражением, а функция - подинтегральной функцией. Из определения неопределенного интеграла вытекает
.
Нам понадобится следующий, уже доказанный нами факт, характеризующий множество первообразных данной функции на данном промежутке.
Утверждение. Если 
и 
- две первообразные функции на одном и том же промежутке, то их разность 
постоянна на этом промежутке.
Таким образом, если какая-либо первообразная функции , то 
.
Таблица основных интегралов
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Докажем, например, формулу , в самом деле,
.
Задача. Доказать остальные формулы.
Простейшие правила интегрирования
Линейность неопределенного интеграла.
.
Равенство проверяется непосредственным дифференцированием.
Пример 1. 
.