КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Л Е К Ц И Я 12
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.
Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:
Ñ2y (r) +V(r) y(r) = Ey(r)
и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)
y(r) = A
.
Учитывая, что
Ñy = 
(ÑS)A
, Ñ2y = (Ñ2S)A- 
(ÑS)2A,
получим для S следующее уравнение:
(ÑS)2 - 
Ñ2S +V - E = 0.
Если отбросить второй член, то получим
(ÑS)2 +V = E.
Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при
|ÑS|2 >> 
|Ñ2S|.
Но в классике ÑS=p, а потому
½p2½>>½divp(x)½,
или, в одномерном случае
p2 >> |
| Þ 1 >> 
|| = |
| = |
| º |
|,
где 
- де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии
|| << 1,
т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что
p(x) =
,
получим
1 >> |
| = |
| Þ |
| << 1.
Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а l = µ. Это будет важно в дальнейшем.
Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию
y(x) = A
,
имеет вид
iS¢ - S¢2 + 2m(E -V) = 0. (**)
Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :
S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....
Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по затруднено. К тому же разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде
S(x) @ S0(x) + S1(x) .
Подставляем в (**), отбрасывая члены с 2:
2m(E -V) - S0¢2 +(iS0¢¢ - 2S0¢S¢1) = 0.
Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без (с 0) и члены с (1):
2m(E -V) - S0¢2 = 0, iS0¢¢ - 2S0¢S1¢ = 0.
Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).
Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого
S0¢ = ± 
= ±p,
где
p(x) =
классический импульс.
Итак, в нулевом приближении
S0(x) = ± 
|p(x)|dx.
|
Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где
E =V(x0).
Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.
Уравнение для S1 переписываем в виде
S1¢ = i/2(S0’’/S0’) º i/2(lgSo’)’.
Интегрируя его, находим
S1 = i/2lgS’0 = i/2(lgp)
(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ
S(x) = ±
pdx+iln
,
и
y(x) = 
.
Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:
I.yI(x) = 
, p(y) = 
,
или
yI(x) = 
[a sin (z +g) +bcos(z +g¢)], z(x) º 
|p(y)dy|;
II. yII(x) = 
, p(y) == ip(y),
или
yII(x) = 
[Ae-|z|+Be|z|], |p(y)| =
, |z| º 
|p(y)|dy.
В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, g, g¢, A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.
Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:
V(x) @V(x0) + (x - x0)V¢(x) º E +
(x-x0), a = 
V¢(x).
Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как
y¢¢(x) - a (x-x0) y(x) = 0.
После замены переменной
h = a1/3(x-x0)
оно примет вид
- hy = 0.
Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:
u1(h) = 
, u2(h) = 
.
Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.
1. При x>x0 за счет 2 в знаменателе a имеем h>>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):
u1 » 
, u2 = 
.
2. При x<x0 по тем же причинам h<<-1, и асимптотики таковы:
u1 » 
, u2 » 
.
Первую асимптотику будем сшивать с yII(x), а вторую - с yI(x).
(а) В области I x=x0 -e (e>0, e ® 0) подставляем в p(x) потенциал
V(x) = (x0-x)
разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем
z = 
p(y)dy @ 2/3 h3/2.
(б) В области II x=x0+e, и аналогичные выкладки дают
|z| @ 2/3 h3/2.
Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим
A = a/2, B = b, g = g¢ = 
.
В итоге получим следующее квазиклассическое решение:
y(x) = ay1(x) + by2(x),
где
y1(x) = 
; y2(x) = 
При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне e- окрестности точки поворота. Но если на интервале 2e укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.