Результатов эксперимента.

При анализе погрешностей эксперимента широко используется аппарат математической статистики и теории вероятностей, поэтому рассмотрим некоторые понятия из них. Пусть событие произошло раз при n испытаниях.

Вероятность случайного события называется предел , к которому стремится отношение числа этих случайных событий к общему числу испытаний n при неограниченном увеличении этих испытаний

Совокупность всех возможных результатов наблюдений над случайной величиной называют генеральной совокупностью, а часть этих результатов выборкой. Количество результатов входящих в выборку называется ее объемом.

Случайная величина может быть непрерывной и дискретной. Непрерывная случайная величина принимает любые значения из диапазона своего изменения, а дискретная только определенные значения.

Случайная величина считается заданной, если известны все значения, которые она может принимать, и известен закон распределения вероятностей этих значений. Этот закон может быть задан в виде таблицы, в виде графика и в виде формулы. При этом распределение случайной величины может быть представлено в форме интегральной функции распределения F(ξ) или плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) f(ξ).

Для характеристики случайной величины часто используют не сами функции распределения, а некоторые числовые характеристики. Важной характеристикой случайной величины является ее математическое ожидание (центр распределения).

Математическим ожиданием случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений:

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание выражается через интеграл

Статиcтической оценкой математического ожидания является среднее арифметическое

При n → ∞ среднее математическое равно математическому ожиданию.

Другими используемыми параметрами случайной величины являются дисперсия D и среднее квадратическое отклонение σ. Эти параметры характеризуют степень рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Дисперсией дискретной величины называют сумму произведений квадратов отклонений всех возможных его значений от математического ожидания на вероятности этих значений

Для непрерывной случайной величины дисперсия выражается следующей формулой

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии

Оценкой дисперсии и среднего квадратичного отклонения при небольшом числе измерений являются выборочные дисперсия и исправленное среднее квадратичное отклонение.

Очень часто при анализе случайных погрешностей оказывается оправданным использование так называемого нормального закона распределения случайной величины (распределения Гаусса).

Для нормально закона распределения погрешностей интегральная и дифференциальная функция распределения имеют следующий вид

Встречаются и другие законы распределения погрешностей, при этом реальные функции распределения могут быть представлены в виде таблиц, графиков или формул с указанием численных значений параметров в них входящих, но могут быть аппроксимированы и стандартными функциями распределения.

К числу стандартных функций распределения относятся 1 – нормальная, 2- треугольная, 3 – трапециевидная, 4 – равномерная, 5 – антимодальная-I, 6 - антимодальная-II, 7 – Релея.

Сокращенные обозначения: 1 – норм., 2 – Δ, 3 – трап., 4 – равн., 5 – АМ.I, 6 – АМ.II.

Графики плотности вероятности этих распределений имеют следующий вид:

Систематическая погрешность имеет неслучайный характер, но ее реализацию в каждом конкретном случае можно рассматривать как случайное явление, поэтому они могут быть использованы в качестве показателей точности результатов экспериментов, в которых содержатся систематические погрешности тех же характеристик, которые рассмотрены выше применительно к случайным погрешностям. Однако характер погрешности должен учитываться при выборе законов распределения.

В исследовательской практике нашли применение следующие способы выражения точности и соответствующие им формы представления результатов эксперимента (ГОСТ 8.011 – 72).

1. Точность выражается доверительным интервалом, в котором с установленной доверительной вероятностью находится суммарная погрешность, а результаты представляются в форме

А ; Δ от Δ_н до Δ_в ; Р ,

где А – результат экспериментов выраженный в системе СИ; - соответствующая абсолютная погрешность, ее верхняя и нижняя границы выражены в тех же единицах, Р – доверительная вероятность.

2. Точность выражается интервалом, в которой с установленной вероятностью Р_с находится систематическая составляющая погрешности , стандартной аппроксимацией функции плотности распределения случайной составляющей погрешности и численным значением среднего квадратического отклонения этой составляющей , а результаты представляют в форме

А; D_с от D_с.н до D_с.в. ; Р_с ; ; ,

Например:

А = 10,75 Па ; D_с от 0,15 до 0,23 Па , Р_с = 0,95 ; = 0,20 Па , норм.

3. Точность выражается стандартными аппроксимациями функций плотности расширения систематической и случайной составляющих погрешностей и численными значениями их среднеквадратических отклонений и , а результаты представляют в форме:

А ; ; ; ;

4. Точность выражается реальными функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности, а результаты представляются в форме

А ; ; ,

причем функции распределения могут задаваться таблицам, графиками и формулами с указанием численных значений входящих в них параметров, но обязательно в одинаковой форме.

Число значащих цифр при записи показателей точности не должно превышать двух, а число значений цифр результата эксперимента выбирается так, чтобы младшие разряды значений результата эксперимента и показателей точности были одинаковы.