Прямые в пространстве.

 

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку М₀ на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая линия l задана её точкой М₀(х₀; у₀; z₀) и направляющим вектором (m; n; p). Тогда

= + t, tÎR. (2)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой.

 

Параметрические уравнения прямой.

 

Учитывая, что = (x; y; z); r₀ = (х₀; у₀; z₀); t= (tm; tn; tp) уравнение (2) можно записать в виде:

x + y + z = (x₀ + tm) + (y₀ + tn) + (z₀ + tp).

Получаем систему равенств:

х = x₀ + tm

y = y₀ + tn

z = z₀ + tp, tÎR.

Эта система задает параметрические уравнения прямой в пространстве.

 

Канонические уравнения прямой.

Пусть (m; n; p) – направляющий вектор прямой l и точка М₀(х₀; у₀; z₀) – точка, лежащая на этой прямой. Двойное равенство

(3)

называется каноническим уравнением прямой в пространстве. Отметим, что

обращение в 0 одного из знаменателей канонического уравнения означает обращение в 0 соответствующего числителя. Например, каноническое уравнение

задает прямую, проходящую через точку М₀(2; –4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекция вектора на Oz равна 0, но это означает, что прямая лежит в плоскости z=1 и поэтому для всех точек прямой будет z–1=0)

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве

 

Две различные точки М₁(х₁; у₁; z₁), М₂(х₁; у₁; z₁) задают единственную прямую l. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид

 

(4)

 

 

Общие уравнения прямой в пространстве

 

Прямую в пространстве можно задать, как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений:

(5)

Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость: первое уравнение – плоскость a₁, второе – плоскость a₂. Если плоскости a₁ и a₂ непараллельные (т.е. координаты векторов (A₁;B₁;C₁) и (A₂;B₂;C₂) непропорциональны), то система (5) определяет прямую l, как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы. Уравнения (5) называют общими уравнениями прямой.

От общих уравнений прямой (5) можно перейти к каноническим уравнениям (3). Координаты точки М₀ на прямой l получаем из системы (5), придав одной из координат произвольное значение (например: z=0). Так как прямая l перпендикулярна векторам и , то за направление прямой l можно принять векторное произведение ´:

 

 

Замечание. каноническое уравнение прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнение (4).

Пример. написать каноническое уравнение прямой

Решение.

Положим что z = 0

Положим что у=0

Записываем уравнение прямой l, проходящей через точки М₁ и М₂

 

Угол между прямыми в пространстве.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

 

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями:

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами (m₁; n₁; p₁) и (m₂; n₂; p₂). Поэтому по формуле для косинуса угла между векторами имеем

(6)

Для нахождения острого угла между прямыми l₁ и l₂, числитель правой части в (6) следует взять по модулю. Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то cos φ = 0, что означает

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то

 

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями

Соответственно их направляющие векторы (m₁; n₁; p₁) и (m₂; n₂; p₂). Прямая l₁ проходит через точку М₁(х₁; у₁; z₁), радиус-вектор которой обозначим . Прямая l₂ проходит через точку М₂(х₂; у₂; z₁), ее радиус-вектор обозначим .

Тогда

– = = (х₂ – х₁; y₂ – y₁; z₂ – z₁).

 

 

 

Прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны. Условием компланарности трех векторов является равное нулю их смешанное произведение, то есть: ([ – ]´, ) = 0 или