Возможность оптимизации в этом случае обеспечивается неопределенностью информации, создающей предпосылки существования так называемых вероятно-оптимальных планов. Неопределенность информации может быть объяснена следующими причинами:
их ранжировании по степени важности в виде ряда можно использовать для оптимизации метод предпочтений. Схема расчета выглядит следующим образом.
1. Формируется множество планов S, допустимых по всем критериям (рис. 14).
2. На этом множестве осуществляется однокритериальная оптимизация по наиболее важному критерию и определяется множество вероятно-оптимальных планов .
3. На множестве выполняют оптимизацию по критерию , определяя множество планов .
4. Этот процесс продолжается либо до рассмотрения последнего критерия, либо до некоторого критерия , множество вероятно-оптимальных планов которого неразличимо по критерию .
Наиболее сложным является случай, когда критерии как количественно, так и качественно несопоставимы. Основополагающим принципом сопоставления в этой ситуации является принцип Парето. Принцип Парето говорит, что альтернативы (варианты) считаются неразличимыми по оптимальности, если ни одну из них при переходе к любой другой нельзя улучшить ни по одному из критериев, не ухудшив хотя бы по одному из остальных.
Лучше всего принцип Парето показывается путем попарного сравнения альтернатив. Рассмотрим в качестве примера четыре альтернативы (№ 1-4) и два критерия (рис. 15), оценки по которым минимизируются ( , ).
Как видно из рис. 15, при переходе от альтернативы 1 к альтернативе 2 оценки по обоим критериям улучшаются, следовательно, вариант 1 не удовлетворяет принципу Парето и должен быть исключен из дальнейшего рассмотрения. При сопоставлении альтернатив 3 и 4 видим, что переход к альтернативе 3 сопровождается улучшением оценки по критерию без ухудшения по критерию . Следовательно, вариант 2 также должен быть исключен. При сравнении альтернатив 2 и 3 видим, что ни одну из них нельзя улучшить по какому-либо из критериев, не ухудшив по другому. Следовательно, альтернативы 3 и 4 удовлетворяют принципу Парето и считаются равнооптимальными.
Множество равнооптимальных альтернатив, удовлетворяющих принципу Парето, называется множеством Парето, или множеством компромиссов.
Во многих задачах развития ЭЭС приходится иметь дело с бесконечными множествами альтернатив (в частности, имеющими мощность континуума), когда оценки по критериям при непрерывном изменении параметров управления изменяются также непрерывно.
В этих случаях практически невозможно реализовать попарное сравнение альтернатив. Однако и в таких ситуациях нетрудно получить простые правила выделения множества компромиссов.
Рассмотрим эти правила на примере с двумя критериями [3]. Пусть множество допустимых альтернатив непрерывно и ограничено замкнутой кривой, изображенной на рис. 16. Рассмотрим любую альтернативу, принадлежащую этому множеству, например, альтернативу 1. Очевидно, эту альтернативу можно улучшать, двигаясь в направлении вектора, лежащего в третьем квадранте, причем улучшение альтернатив будет продолжаться до тех пор, пока мы не достигнем границы множества (альтернатива 2). Таким образом, мы показали, что множество компромиссов принадлежит границе допустимого множества альтернатив.
Дальнейшего улучшения можно добиться, двигаясь вдоль границы допустимого множества, пока вектор, касательный к траектории движения по-преж-нему находится в третьем квадранте. В нашем случае это можно сделать до тех пор, пока мы не достигнем точки b, точки, в которой касательная к границе параллельна одной из осей координат критериев. Как видно из рис. 16, в третьем квадранте с вершиной в точке b нет ни одной допустимой точки, кроме точки b.
Нетрудно провести аналогичные рассуждения, выделив точку a границы множества как точку, в которой касательная к границе параллельна другой координатной оси (проделав, например, путь 3-4-a). В рассматриваемом примере подобными свойствами обладают также точки c и d. Нетрудно также видеть, что точки, лежащие на дугах ab и cd, образуют множество компромиссов. Любая из них является единственной принадлежащей допустимому множеству для точек третьего квадранта с вершиной в рассматриваемой точке.
Хотя теоретически альтернативы, удовлетворяющие принципу Парето, должны рассматриваться как равнооптимальные, однако практически существуют возможности практического сопоставления и дальнейшего отсеивания таких альтернатив. Такая возможность была бы очень привлекательной, т.к. часто количество альтернатив в множестве компромиссов оказывается слишком большим и желательно его сократить. А, главное, в конечном счете ЛПР все равно должно сделать единственный выбор. Такого рода анализ альтернатив внутри множества компромиссов носит название вторжения во множество компромиссов. Ниже рассмотрим лишь один метод такого анализа, называемый методом районирования решений (альтернатив) в пространстве критериев[3].
Рассмотрим сопоставление двух альтернатив B1 и B2, удовлетворяющих принципу Парето, при трех критериях , и . Образуем скалярный критерий вида
. (38)
Проблема заключается в том, что нам неизвестны весовые коэффициенты . Более того, в соответствии с принципом Парето, при одних значениях весовых коэффициентов наилучшим может оказаться один вариант ( ), а при других - другой ( ). Определим соответствующие множества коэффициентов {p}. В случае трех критериев эти множества можно наглядно проиллюстрировать.
Поскольку , то можно записать вместо (38)
. (39)
Определим критические значения и , при которых оценки по скалярному критерию F сравниваются. Очевидно, для этого случая можно записать , т.е.
.
После короткого преобразования имеем
. (40)
Условию (40) можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Множество всевозможных сочетаний весовых коэффициентов изображается прямоугольным треугольником в осях и (рис. 17), ограниченным координатными осями (катетами) и отрезком, соединяющим точки с координатами (1,0) и (0,1) (гипотенузой). Из условия (37) началу координат соответствует значение , точкам, лежащим на гипотенузе, . Линии равных значений - это отрезки, параллельные гипотенузе (на рис. 17 показан пример для ).
Уравнение (40) является уравнением прямой в координатах и , все точки которой имеют одинаковые оценки вариантов по скалярному критерию. Очевидно, что для полуплоскости, находящейся по одну сторону прямой , выполняется условие эффективности варианта 1: , а для другой полуплоскости варианта 2: (на рис. 17 ввиду общей формы записи эти оценки показаны произвольно). Нетрудно видеть, что зона эффективности варианта 1 определяется множеством весовых коэффициентов, ограниченным многоугольником bcde, а для варианта 2 - треугольником abc. Сопоставляя площади этих зон, можно делать выводы о степени предпочтительности выбора того или иного варианта.
Положение прямой, разделяющей зоны, нетрудно определить, найдя точки ее пересечения с координатными осями (точки b и f). В этих точках значения всех критериев, кроме одного, равны нулю. В нашем случае это сведется к необходимости решения следующих уравнений:
для точки f: ;
для точки b: , что вытекает из условия (40).
Изложенный подход нетрудно распространить на произвольный случай любого числа критериев и сопоставляемых альтернатив.
Выше были показаны лишь некоторые особенности проведения многокритериального анализа. Однако сложность задач развития электроэнергетики, многообразие субъектов СУ в энергетике и их интересов приводят к тому, что многокритериальный анализ нельзя сводить лишь к некоторой совокупности формальных процедур. Его необходимо представлять в виде системы формирования и анализа условий развития и вырабатываемых на этой основе решений, включающей следующие основные направления:
1) выполнение агрегирования информации, адекватного поставленным задачам. Для этого перспективным является применение методов таксономии и распознавания образов;
2) поиск компромиссных решений на основе согласования интересов субъектов СУ. При этом перспективно применение методов ситуационного анализа, в частности решающих матриц;
3) анализ влияния факторов риска на принимаемые решения, в первую очередь финансовых и экологических рисков;
4) исследование устойчивости решений по отношению к изменению расчетных условий;
5) нахождение областей эффективности альтернатив.
Сложность поставленных задач требует обращения к качественно новым способам анализа. К таким способам, в частности, относится применение имитационного моделирования, которое во многом вытесняет доминирование чисто оптимизационного моделирования (математического программирования), характерного для задач централизованного планирования. Перспективным направлением также следует назвать разработку принципиально новых процедур представления информации в виде нечетких множеств и принятия решений на основе применения теории нечетких множеств и отношений (свидетельств), в том числе с использованием понятий лингвистических переменных.
Пример прогнозирования нагрузок и электропотребления