Решить систему уравнений по правилу Крамера
Матрицы можно перемножить только тогда, когда кол-во столбцов 1-ой матрицы равно кол-ву строк 2-ой и наоборот.
Так как знаки миноров элементов второй строки противоположны знакам миноров элементов первой строки, то
.
Вырожденная – определитель равен нулю, невырожденная – не равен нулю.
В заключение перечислим свойства операций над матрицами:
1) А+В = В+А;
2) А+(В+С) = (А+В)+С;
3) (α+β)А=αА+βА,где α и β – числа;
α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА);
4) А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС;
5) А+0 = А;
6) АЕ = ЕА = А.
Пример 12.
Пусть 
.
Найти значение многочлена 
Решение. Подставим вместо x под знак многочлена матрицу A.
Тогда
, где 
, а вместо числа 4 мы ввели матрицу 
, так как складывать можно только матрицы одинакового размера, но не матрицу с числом.
Вычислим 
. Имеем
.
Далее 
,
.
Решить систему уравнений по правилу Крамера:
Решение. вычислим определитель системы:
то есть система совместна.
Найдем далее вспомогательные определители:
Тогда х1=30, х2=20, х3=-60.
Пример 17. Матричным методом решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель матрицы А.
то есть матрица А невырожденная. Построим обратную матрицу А-1. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Следовательно,
.
Находим теперь решение системы по формуле (1.12).
то есть x = 3, y = 1, z = -1.
Пример 19. Исследовать совместность системы
Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы
Первую строку матрицы умножим на –1 и прибавим ее к остальным строкам. Получим
Вторую строку полученной матрицы сложим с третьей строкой, а затем, умножив ее на 2, сложим с последней:
Ранг матрицы системы равен двум, а ранг расширенной – трем. Следовательно, система несовместна.
Пример 20. Исследовать совместность и найти общее решение системы
Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы
Умножив первую строку матрицы на –3, сложим ее со второй и третьей строками, а, умножив на –2, сложим ее с четвертой строкой.
Тогда имеем
Сложим теперь вторую строку этой матрицы с третьей и вычтем ее из четвертой:
Так как расширенная матрица системы 
и матрица системы А содержат три ненулевых строки, то 
Система совместна и, так как ранг матрицы 
меньше числа неизвестных системы, то система имеет множество решений.
Выберем в качестве базисного минора
Тогда неизвестные х2, х3, х4 – базисные, а х1 и х5 – свободные. Укороченная система имеет вид
Положим х1=с1, х5=с2. Тогда система примет вид
Так как х4=0, то из второго уравнения этой системы х3=3-4с2.
Подставляя х4 и х3 в первое уравнение, получим
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид
Пример 21. Решить систему
Решение. Составим матрицу системы
и методом элементарных преобразований найдем ранг
r=2.
Выберем в качестве базисного минор 
Тогда укороченная система имеет вид
Полагая х3=с1, х4=с2, находим х2=-6с1+5с2, а х1=-4с1+3с2+2(6с1-5с2)=8с1-7с2. Общее решение системы
(1.20)
Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения
Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn. Общее решение будет представлено в виде
В примере 21 найти фундаментальную систему решений и выразить с ее помощью общее решение этой системы.
Из общего решения (1.20) системы найдем фундаментальную систему решений.
, 
С использованием фундаментальной системы общее решение можно записать в виде
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают 
, а также 
, если векторы сонаправлены, и 
, если они противоположно направлены).
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены () и имеют равные длины (
). Обозначают 
.
Для каждого вектора 
, отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается 
и удовлетворяет условиям: 
, 
.
a(x1,y1,z1)+(-)b(x2 ,y2,z2)=c(x1+(-)x2,y1+(-)y2,z1+(-)z2)
A*a(x1,y1,z1)= a(A*x1,A*y1,A*z1)
Проекцией вектора 
на ось 
(обозначается пр
) называется длина его составляющей 
по этой оси, взятая со знаком «плюс», если 
, и со знаком «минус», если 
.
Очевидно, что пр
, если вектор образует острый угол с осью ; пр
, если этот угол тупой; пр
, если 
.
Если известны координаты точек 
и 
на оси: 
, 
, то пр
.
Нетрудно доказать свойства проекций:
1) Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
2) пр
пр
пр
.
3) пр
aпр
, 
.
4) пр
, где 
– угол между вектором и осью.
Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением сост
пр
.
Это равенство называется разложением вектора 
по базису 
, 
, 
, а числа 
, 
, 
называются координатами вектора в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут 
или 
.
Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.
Зная координаты вектора, легко выразить его длину:
Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:
если 
, 
, 
, то
1) 
, 
, 
– равные векторы имеют соответственно равные координаты;
2) 
– при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;
3) 
– при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;
4) 
, 
, 
, то есть 
– (2.4)
координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Из свойств проекций:
, 
, 
. Следовательно,
, 
, 
.
Говорят, что точка 
делит отрезок 
в отношении 
, если 
, или 
(рис. 13).
Рис. 13
Пусть координаты точек 
и 
известны: 
, 
. Найдем координаты точки 
. Очевидно, что 
, где 
, 
. Приравнивая координаты векторов, найдем:
, 
, 
. (2.6)
В частности, если – середина отрезка , то 
, тогда
, 
, 
.
Пример 5.
Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.
, ; , следовательно, . Координаты вектора больше, значит, он длиннее и точка A лежит между B и…Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора (рис. 14).
Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7):
, 
, 
, то есть 
. Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, 
, тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: 
, 
, 
. Таким образом, точка пересечения медиан – 
. Найдем координаты вектора 
по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): 
; 
. Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) 
, 
, 
, следовательно, 
– орт вектора .
Скалярным произведением двух векторов (обозначается 
или 
) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
, где 
.
Свойства скалярного произведения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
, или 
, или 
.
Таким образом, 
– условие перпендикулярности векторов.
5) 
, или, обозначая 
(скалярный квадрат вектора ), получим 
, откуда 
Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .
Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы 
и 
(см. рис. 5). Тогда 
, 
, 
, следовательно, 
– угол между диагоналями равен 
.
Пример 7.Дано: 
, 
, 
, 
. Вычислить 
– длину вектора 
.
Решение. Из свойства (5) скалярного произведения 
; но 
, 
, 
, следовательно, 
.
Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается 
или 
и определяется следующим образом: 
1) 
где 
– длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;
2) `
,`
– этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;
3) векторы 
, 
, образуют правую тройку.
Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис 17): 
, 
.
Свойства векторного произведения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
, или 
, или 
;
4a) 
.
Пример 8. Упростить выражение 
.
Решение. На основании свойств векторного произведения получим 
, но 
, 
, тогда 
.
Пример 9. В треугольнике с вершинами 
, 
, 
найти длину высоты 
.
Решение. 
, откуда 
, где 
. Найдем координаты векторов: 
, 
.
Тогда
, то есть 
;
, следовательно, 
.
По определению скалярного произведения 
, где 
– угол между векторами 
и 
. Но 
– площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, а 
, где 
– высота параллелепипеда. Таким образом, 
.
Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: 
.
- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
– общее уравнение прямой на плоскости.
- каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
y0, x0 – заданные координаты данного вектора
, – параметрические уравнения прямой.
– уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми.Пусть прямые 
и 
заданы соответственно уравнениями 
, 
, где 
, 
. Обозначим угол между прямыми: 
(рис. 24). Тогда 
, 
.
Рис. 24
Таким образом,
. (2.20)
Если 
, то 
, а следовательно, 
, то есть k1= k2.
Если 
, то 
, 
не определен, 
, следовательно, 
, или 
.
Если прямые и заданы соответственно уравнениями
, 
, где 
, 
– нормальные векторы прямых, то
, или 
.
Если 
, то 
, следовательно, 
.
Если , 
, то есть 
.
Расстояние от точки до прямой.Пусть прямая на плоскости задана уравнением 
и точка 
имеет координаты 
(рис. 25). Обозначим 
– основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , 
, 
– расстояние от точки до прямой . Тогда 
, а 
– нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение 
. С одной стороны, 
, так как 
, следовательно, угол между ними 
или
. С другой стороны, 
, но точка 
, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению 
, откуда 
, поэтому 
. Приравнивая выражения, получим
. Тогда 
или
. (2.21)
Пример 12. Прямая задана уравнением 
. Составить уравнения а) прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .
Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой определим нормальный вектор этой прямой 
. Этот вектор перпендикулярен и прямой (рис. 26). Таким образом, для известен нормальный вектор 
и точка 
. Воспользуемся уравнением (2.12): 
или 
– уравнение . Для прямой 
вектор 
является направляющим 
и точка 
. Воспользуемся уравнением (2.15): 
, или 
, или 
– уравнение .
Рис. 26
2-й способ. Запишем уравнение прямой в виде 
. Найдем угловой коэффициент прямой : 
. Прямая 
, следовательно, ее угловой коэффициент 
; прямая 
, поэтому ее угловой коэффициент 
. Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой : 
или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой : 
, то есть 
.
Пример 13. В треугольнике с вершинами 
, 
, 
составить уравнения медианы 
, высоты 
, найти длину высоты (рис. 27).
Рис. 27
Решение. – середина отрезка
, ее координаты найдем по формулам (2.7): 
, 
, то есть 
. Таким образом, на медиане известны две точки 
и . Воспользуемся уравнением (2.17): 
, или 
– уравнение медианы . Его можно привести к виду 
. Для составления уравнения высоты найдем 
– нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): 
. Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим 
– уравнение. Составим уравнение прямой 
, используя уравнение (2.15) и рассматривая 
как направляющий вектор: 
; 
, или 
. Тогда длину высоты найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки 
до прямой : 
.
– уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
– общее уравнение плоскости.
– уравнение плоскости в отрезках. Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Неполные уравнения плоскостей
Если в уравнении плоскости 
какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости
Пусть, например, 
Уравнение имеет вид 
и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).
Пусть 
Уравнение имеет вид 
и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при Действительно, тогда 
то есть 
а плоскость 
Пусть 
Уравнение имеет вид 
и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при Действительно, 
то есть 
а плоскость 
или 
Аналогично можно рассмотреть другие случаи.
Угол между двумя плоскостями
Пусть плоскости a1 и a2 заданы соответственно уравнениями 
где 
и 
– нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно, 
тогда косинус угла между плоскостями 
| Расстояние от точки до плоскости | |||||||||
Если  – заданная точка и  – уравнение плоскости a, то расстояние от точки Мо до плоскости a определяется по формуле:
(доказывается аналогично (2.21)). | |||||||||
| § 14. Прямая в пространстве | |||||||||
Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости:
– канонические уравнения, здесь хо, уо, zо – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);
– параметрические уравнения прямой;
– уравнения прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2). Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей
(2.37) – общие уравнения прямой в пространстве. Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных. Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей: Пример 21. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид | |||||||||
и 
где 
– их нормальные векторы, то уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид
Сложив уравнения, получим 
Тогда из второго уравнения 
Точка на прямой А(1; -2; 0). Найдем направляющий вектор этой прямой: 
Получим канонические уравнения прямой 
| Угол между прямыми | ||||
Пусть прямые  и  заданы каноническими уравнениями  и  Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых:  Тогда
Если Если | ||||
| § 15. Взаимное расположение прямой и плоскости | ||||
Пусть плоскость a задана уравнением   – ее нормальный вектор, а прямая  задана уравнениями   – направляющий вектор прямой. Обозначим  – угол между прямой и плоскостью,  – угол между соответствующими векторами (рис.46). Очевидно,  а  или  Но  тогда синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле
Рис. 46 Если
– условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.
Рис. 47 Если Пусть требуется найти точку пересечения прямой
Рис. 48 Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости. Если уравнение относительно t примет вид 0 × t = N (то есть М = 0, N ¹ 0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть прямая параллельна плоскости. Пример 22. Найти точку пересечения прямой Решение. Запишем параметрические уравнения прямой: Пример 23. Показать, что прямая Решение. 1-й способ. Используем параметрические уравнения прямой 2-й способ. |
то 
, то 
или 
.
то 
(рис. 47), то есть 
или
то 
(рис. 48), то есть 
– условие перпендикулярности прямой и плоскости.
и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости. Получим уравнение вида 
относительно параметра t. Выразив t и подставив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.
и плоскости 
Подставим эти выражения в уравнение плоскости: 
Из параметрических уравнений получим 
Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости 
лежит в плоскости 
Подставим в уравнение плоскости: 
– получили равенство, верное при любых 
Следовательно, прямая лежит в плоскости.
– направляющий вектор прямой, 
– нормальный вектор плоскости. 
значит, прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости (из условия (2.40)). Точка 
принадлежит прямой и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: 
значит, прямая лежит в плоскости.