Решить систему уравнений по правилу Крамера

Матрицы можно перемножить только тогда, когда кол-во столбцов 1-ой матрицы равно кол-ву строк 2-ой и наоборот.

Так как знаки миноров элементов второй строки противоположны знакам миноров элементов первой строки, то

.

 

Вырожденная – определитель равен нулю, невырожденная – не равен нулю.

В заключение перечислим свойства операций над матрицами:

1) А+В = В+А;

2) А+(В+С) = (А+В)+С;

3) (α+β)А=αА+βА,где α и β – числа;
α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА);

4) А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС;

5) А+0 = А;

6) АЕ = ЕА = А.

 

Пример 12.

Пусть .

Найти значение многочлена

Решение. Подставим вместо x под знак многочлена матрицу A.

Тогда, где , а вместо числа 4 мы ввели матрицу , так как складывать можно только матрицы одинакового размера, но не матрицу с числом.

Вычислим . Имеем

.

Далее ,

.

 

Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Решение. вычислим определитель системы:

то есть система совместна.

 

Найдем далее вспомогательные определители:

 

Тогда х₁=30, х₂=20, х₃=-60.

 

 

Пример 17. Матричным методом решить систему уравнений

 

Решение. Вычислим определитель матрицы А.

то есть матрица А невырожденная. Построим обратную матрицу А^-1. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

.

Находим теперь решение системы по формуле (1.12).

то есть x = 3, y = 1, z = -1.

 

Пример 19. Исследовать совместность системы

Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы

Первую строку матрицы умножим на –1 и прибавим ее к остальным строкам. Получим

Вторую строку полученной матрицы сложим с третьей строкой, а затем, умножив ее на 2, сложим с последней:

Ранг матрицы системы равен двум, а ранг расширенной – трем. Следовательно, система несовместна.

 

 

Пример 20. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы

Умножив первую строку матрицы на –3, сложим ее со второй и третьей строками, а, умножив на –2, сложим ее с четвертой строкой.

Тогда имеем

Сложим теперь вторую строку этой матрицы с третьей и вычтем ее из четвертой:

Так как расширенная матрица системы и матрица системы А содержат три ненулевых строки, то Система совместна и, так как ранг матрицы меньше числа неизвестных системы, то система имеет множество решений.

Выберем в качестве базисного минора

Тогда неизвестные х₂, х₃, х₄ – базисные, а х₁ и х₅ – свободные. Укороченная система имеет вид

Положим х₁=с₁, х₅=с₂. Тогда система примет вид

Так как х₄=0, то из второго уравнения этой системы х₃=3-4с₂.

Подставляя х₄ и х₃ в первое уравнение, получим

Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид

 

Пример 21. Решить систему

Решение. Составим матрицу системы

и методом элементарных преобразований найдем ранг

r=2.

Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид

Полагая х₃=с₁, х₄=с₂, находим х₂=-6с₁+5с₂, а х₁=-4с₁+3с₂+2(6с₁-5с₂)=8с₁-7с₂. Общее решение системы

(1.20)

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обозначают Е₁, Е₂, …, Е_n. Общее решение будет представлено в виде

В примере 21 найти фундаментальную систему решений и выразить с ее помощью общее решение этой системы.

Из общего решения (1.20) системы найдем фундаментальную систему решений.

,

С использованием фундаментальной системы общее решение можно записать в виде

 

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены () и имеют равные длины (). Обозначают .

Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается и удовлетворяет условиям: , .

 

 

a(x1,y1,z1)+(-)b(x2 ,y2,z2)=c(x1+(-)x2,y1+(-)y2,z1+(-)z2)

 

A*a(x1,y1,z1)= a(A*x1,A*y1,A*z1)

Проекцией вектора на ось (обозначается пр) называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком «плюс», если , и со знаком «минус», если .

Очевидно, что пр, если вектор образует острый угол с осью ; пр, если этот угол тупой; пр, если .

Если известны координаты точек и на оси: , , то пр.

Нетрудно доказать свойства проекций:

1) Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2) прпрпр.

3) прaпр, .

4) пр, где – угол между вектором и осью.

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением состпр.

 

 

Это равенство называется разложением вектора по базису , , , а числа , , называются координатами вектора в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

 

 

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2) – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3) – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть – (2.4)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

 

Из свойств проекций:, , . Следовательно,

, , .

 

Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если , или (рис. 13).

Рис. 13

Пусть координаты точек и известны: , . Найдем координаты точки . Очевидно, что , где , . Приравнивая координаты векторов, найдем:

, , . (2.6)

В частности, если – середина отрезка , то , тогда

, , .

 

 

Пример 5.

Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

, ; , следовательно, . Координаты вектора больше, значит, он длиннее и точка A лежит между B и…  

Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора (рис. 14).

Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7):
, , , то есть . Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, , тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: , , . Таким образом, точка пересечения медиан – . Найдем координаты вектора по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): ; . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) , , , следовательно, – орт вектора .

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

 

Свойства скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , или , или .

Таким образом, – условие перпендикулярности векторов.

5) , или, обозначая (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда

 

Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы и (см. рис. 5). Тогда , , , следовательно, – угол между диагоналями равен .

 

Пример 7.Дано: , , , . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , , , следовательно, .

 

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается или и определяется следующим образом:

1) где – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;

2) `,` – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

3) векторы , , образуют правую тройку.

Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис 17): , .

 

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , или , или ;

4a) .

 

Пример 8. Упростить выражение .

Решение. На основании свойств векторного произведения получим , но , , тогда

.

Пример 9. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты .

Решение. , откуда , где . Найдем координаты векторов: , .

Тогда

, то есть ;

, следовательно, .

 

По определению скалярного произведения , где – угол между векторами и . Но – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а , где – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

 

- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

 

– общее уравнение прямой на плоскости.

- каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

 

y0, x0 – заданные координаты данного вектора

 

, – параметрические уравнения прямой.

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Угол между двумя прямыми.Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где , . Обозначим угол между прямыми: (рис. 24). Тогда , .

 

Рис. 24

Таким образом,

. (2.20)

Если , то , а следовательно, , то есть k₁= k₂.

Если , то , не определен, , следовательно, , или .

Если прямые и заданы соответственно уравнениями

, , где , – нормальные векторы прямых, то, или .

Если , то , следовательно, .

Если , , то есть .

Расстояние от точки до прямой.Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты (рис. 25). Обозначим – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , , – расстояние от точки до прямой . Тогда , а – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или. С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

. Тогда или

. (2.21)

 

Пример 12. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой определим нормальный вектор этой прямой . Этот вектор перпендикулярен и прямой (рис. 26). Таким образом, для известен нормальный вектор и точка . Воспользуемся уравнением (2.12): или – уравнение . Для прямой вектор является направляющим и точка . Воспользуемся уравнением (2.15): , или , или – уравнение .

 

Рис. 26

2-й способ. Запишем уравнение прямой в виде . Найдем угловой коэффициент прямой : . Прямая , следовательно, ее угловой коэффициент ; прямая , поэтому ее угловой коэффициент . Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой : или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой : , то есть .

Пример 13. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты (рис. 27).

 

Рис. 27

Решение. – середина отрезка, ее координаты найдем по формулам (2.7): , , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты найдем – нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим – уравнение. Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая как направляющий вектор: ; , или . Тогда длину высоты найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки до прямой : .

 

 

– уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

 

– общее уравнение плоскости.

 

– уравнение плоскости в отрезках. Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат

 

 

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

 

Неполные уравнения плоскостей

Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости

Пусть, например, Уравнение имеет вид и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).

Пусть Уравнение имеет вид и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при Действительно, тогда то есть а плоскость

Пусть Уравнение имеет вид и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при Действительно, то есть а плоскость или

Аналогично можно рассмотреть другие случаи.

 

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости a₁ и a₂ заданы соответственно уравнениями где и – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно, тогда косинус угла между плоскостями

 

Расстояние от точки до плоскости
Если – заданная точка и – уравнение плоскости a, то расстояние от точки Мо до плоскости a определяется по формуле:   (2.33)   (доказывается аналогично (2.21)).
	§ 14. Прямая в пространстве
Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости:   (2.34)   – канонические уравнения, здесь хо, уо, zо – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);   (2.35)   – параметрические уравнения прямой;   (2.36)   – уравнения прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2). Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей и где – их нормальные векторы, то уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид   (2.37)   (2.37) – общие уравнения прямой в пространстве. Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных. Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей: Пример 21. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0). Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой

 

Угол между прямыми

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда (2.38) Если то Если , то или .

§ 15. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть плоскость a задана уравнением – ее нормальный вектор, а прямая задана уравнениями – направляющий вектор прямой. Обозначим – угол между прямой и плоскостью, – угол между соответствующими векторами (рис.46). Очевидно, а или Но тогда синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле (2.39) Рис. 46 Если то (рис. 47), то есть или   (2.40)   – условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости. Рис. 47 Если то (рис. 48), то есть – условие перпендикулярности прямой и плоскости. Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости. Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t и подставив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.   Рис. 48 Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости. Если уравнение относительно t примет вид 0 × t = N (то есть М = 0, N ¹ 0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть прямая параллельна плоскости. Пример 22. Найти точку пересечения прямой и плоскости Решение. Запишем параметрические уравнения прямой: Подставим эти выражения в уравнение плоскости: Из параметрических уравнений получим Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости Пример 23. Показать, что прямая лежит в плоскости Решение. 1-й способ. Используем параметрические уравнения прямой Подставим в уравнение плоскости: – получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости. 2-й способ. – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор плоскости. значит, прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости (из условия (2.40)). Точка принадлежит прямой и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: значит, прямая лежит в плоскости.