Скин-эффект в плоской геометрии

Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный расчет является достаточно длительной по времени задачей.

Покажем, что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндрической геометрии, причем функции sin, exp, cos считаются намного быстрее.

Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой течет ток шина рис.6 7 6 6 6 760 4 0 e4x 0 4 0e4y0 4 0e4z0 760 7ч0B 760 4 764 0 7ч0E4z0 7ч0E4y0 764 0 7ч0E4x0 7ч0E4z0 rotE 7 0rotE 7ч0 7ч0x7 ч0 7ч0y7 ч0 7ч0z e4x 0 - e4y 0 - 7ч0t 4 0 7ч0y 7ч0z 4 0 7ч0z 7ч0x 1.4.1 E4x0 E4y0 E4z0 760 760 760 7ч0D rotH j 7ч0t 764 0 7ч0E4y0 7ч0E4x0 1.4.2 e4z 0 - 1.4.3 76 60 4 0 7ч0x 7ч0y j 7s0E7о0 76 4 760 D 7ee400E 7 6 6 0 76 6 6 76 4 760 rotE -7mm407ч0H 7ч0t 1.4.4 rotH 7s0E 7ee407ч0E 7ч0t 1.4.5 B 7mm400H Из симметрии задачи очевидно, что7 ч0 7ч0y 0 7ч0E4y7 ч0H4x0 4 0 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4x -7mm400 1.4.6 4 0 7s0E4x 0 4 7ee400 1.4.7 7ч0z7 ч0t4 0 4 0 7ч0z7 0 7 4 7 4 0 7ч0t 4 7ч0E4x0 7ч0E4z7 ч0H4y0 4 0 7ч0H4x0 7ч0H4z7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4y 4 0 - -7mm400 1.4.8 4 0 - 7s0E4y 0 4 7ee400 1.4.9 7ч0z4 0 7ч0x7 ч0t4 0 4 0 7ч0z 7ч0x7 0 7 4 7 4 0 7ч0t 4 7ч0E4y7 ч0H4z0 4 0 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4z -7mm400 1.4.10 4 0 7s0E4z 0 4 7ee400 1.4.11 7ч0x7 ч0t4 0 4 0 7ч0x7 0 7 4 7 0 4 7ч0t Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы 7 0 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4z7 20 7ч0E4y7 ч0H4x 7s0E4z 0 4 7ee400 a 780 a -7mm400 7ч0x7 0 7 4 7 0 4 7ч0t7 00 7ч0z7 ч0t 7ч0E4x0 7ч0E4z7 ч0H4y7 0 7ч0H4x0 7ч0H4z7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4y 4 0 - -7mm400 b 72 0 - 7s0E4y 0 4 7ee400 7ч0z4 0 7ч0x7 0 7 ч0t7 0 7ч0z 7ч0x7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч0t 780 a 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4x7 20 7ч0E4y7 ч0H4z 7s0E4x 0 4 7ee400 c -7mm400 7ч0z7 0 7 4 7 4 0 7ч0t7 20 7ч0x7 ч0t 700 С компонентами E4z0,H4y0,E4x0 , эта С компонентами H4z0,E4y0,H4x0 , эта система описывает скин-эффект система описывает вихревые токи Занимаемся только системой a и ищем решения в виде ш1.0 7 i7w0t 7 ч 2 E4z0 E4z0 r e i7w 2 i7w0t 7 0 7 ч0t7 80 1.4.12 H4y0 H4y0 r e7 ч 2 i7w0t -ik4z7 2 E4x0 E4x0 r e7 ч0z7 2 70 7ч0H4y 7s0E4z0 1.4.13 7ч0x 7ч0E4z0 7ы i7mm407w0H4y0 1.4.14 7ч0x E4x0 0 1.4.15 7s0 7 ч0E4z H4y0 7 0 1.4.16 i7mm407ws ч0x 7ч520E4z - i7mm407ws0E4z0 0 1.4.17 7ч0x52 Таким образом имеем уравнения Внутри проводника Снаружи проводника 7s0 0 7ч520E4z0 7ч520E4z - i7mm407ws0E4z0 0 1.4.18 0 1.4.19 7ч0x520 7ч0x52 Очевидны граничные условия Решение E4z0 const410x const420 1.4.22 E4z0 E4z0 1.4.20 Так как поле не может бес- r R r R конечно возрастать то 4внутри5 4снаружи0 const410 0 Поле вне проводника пос H4y0 H4y0 1.4.21 тоянно, не зависит от r R r R пространственных координат 4внутри снаружи По теореме о циркуляции легко E4z0 const42 получить 5 760 760 5 0 7ee400 17 ч0E4z 7 0Hdl I 1.4.23 5 0 H4y0 -7 0 7 0 1.4.24 5 0 7mm407 s ч0x 5 0 5 0 I5 0 5 0 5неопределенность 7H4y02l I5 0l H4y0 1.4.25 5 0 Магнитное поле такое же , 2 5 0 как оно было бы вокруг про- 5 0 вода с постоянным током , I5 0 - линейная плотность тока 5 0 равным мгновенному значению 5 0 переменного тока. ш1.0 Таким образом имеем уравнение 7ч520E4z - k520E4z0 0 1.4.26 7ч0x52 где k520 i7mm407ws Решение этого уравнения хорошо известно 18 E x Ae5ikx0 Be5-ikx0 1.4.27 7 0 1-i 7 0 1-i 1 1-i7 0 7 0 7 т.к.7?0-i k 7?mm407ws5 0 k - 7d0 1 7?mm407ws 7 7?0 2 7 ? 027 0 7d0 7 ? 02 из геометрии задачи видно, что E4z0 x E4z0 -x A B. Следовательно решение уравнения можно записать в виде E x A e5ikx0 e5-ikx0 1.4.28 Тогда общее решение можно записать в виде переобозначив некоторые выражения x 251 27s0 y, а 7w0t-k4z0z 7a0 4i7ф E4z0 A e5y0e5iy0 e5-y0e5-iy0 e A e5y0 cosy isiny e5-y0 cosy-isiny cos7a0 isin7a0 A e5y0 e5-y0 cosy i e5y0-e5-y0 siny cos7a0 isin7a0 A e5y0 e5-y0 cosycos7a0- e5y0-e5-y0 sinysin7a0 i e5y0 e5-y0 cosycos7a0 e5y0-e5-y0 sinysin7a0 A e5y0 e5-y0 cos520y e5y0-e5-y0 sin520y 51 20 cos7f0sin7a0-sin7f0cos7a0 i cos7f0sin7a0 sin7f0cos7a0 1.4.29 e5y0-e5-y0 siny 5 0e5y0-e5-y где tg7f0 5 0 5 0 tgy e5y0 e5-y0 cosy 5 0e5y0 e5-y Тогда вправе переписать 5-0 E4z0 A e52y0 e5-2y0 2cos2y 51 20 cos 7a0 7f0 isin 7a0 7f0 1.4.30 Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл.

Приведенное выше комплексное решение эквивалентно двум вещественным.

Оба решения одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус, путем изменения начала отсчета времени.

По этим же соображениям путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z 0. Окончательно получим E4z0 r, t A e52y0 e5-2y0 2cos2y 51 20cos 7w0t 7f0 1.4.31 e5y0-e5-y0 x 7 0 7f0 arctg5 0 tgy y 7 d0 1 7?mm407ws0 7w0 27pn 0 e5y0 e5-y0 251 27d0 Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.

Интересен предел высоких частот 7w6 0 7d6 0 y76 E4z0 x, t Ae5y0cos 7w0t y 1.4.32 x y 1.4.33 251 27d Предел низких частот 7w600 7d600 y7600 E4z0 r, t A 1 2y 1-2y 2cos2y 51 20cos 7w0t 7f0 1.4.34 1 y-1 y tg7f0 y y520 1 y 1-y E4z0 r, t A 2 2cos2y 51 20cos 7w0t y520 1.4.35 E4z0 r, t A 2 1 cos2y 51 20cos 7w0t y520 1.4.36 E4z0 r, t A2 cosy cos 7w0t y520 1.4.37 Важно заметить, что в формулах 1.3.31 и 1.3.44 существует дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна при сравнении рисунков 10 и 11. Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью тока противоположно направленной поверхностному току. Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в программах skin.exe с учетом фазового слагаемого и skin 1.exe без учета. Глава 2 Математические методы исследования процессов 2.1