СОДЕРЖАНИЕ Введение 2 Глава 1. Колебания кристаллической решетки 1.Одномерная цепочка с одним атомом в ячейке 2.Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке 3. Трехмерный кристалл 13 Глава 2. Фононы. Фононный газ 16 Глава 3. Акустическая и оптическая ветки колебаний. 19 Решение со знаком минус 19 Решение со знаком плюс 22 Глава 4. Энергия колебаний и теплоемкость кристаллической решетки 1. Модель Эйнштейна 2. Модель Дебая 27 Выводы 34 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 35 Введение Одной из важных и сложных задач теории твердого тела является расчет теплоемкости и теплопроводности твердого тела. Для твердых тел в рамках классической механики были получены значения теплоемкости, которые лишь приблизительно были равны реальным значениям теплоемкости при нормальных температурах.
При повышенных температурах и при температурах следующих к абсолютному нулю значения теплоемкости оказались зависимы от температуры, чего классическая теория объяснить не могла.
Лишь использование квантовой теории смогло объяснить эту зависимость. Для нахождения величин теплоемкости и теплопроводности твердых кристаллических тел в широком температурном диапазоне вводят понятие фононов – квазичастиц, которые распространяются в твердом теле. К данной работе мы рассмотрим явления колебаний кристаллической решетки, которые и являются фононами и их виды в зависимости от строения вещества.
Также рассмотрим процессы рассеивания с участием акустических и оптических фононов. Глава 1. Колебания кристаллической решетки Кристаллическая структура – равновесное состояние системы атомов, отвечающее минимуму потенциальной энергии. В состоянии покоя сумма сил, действующих на каждый атом кристалла со стороны других атомов, равна нулю. Если вывести эту систему из положения равновесия, в кристалле возникнут сложные колебания.
Эти колебания, в частности, всегда имеются при конечной температуре, когда кристаллическая структура обладает определенной (тепловой) энергией, то есть не находится в состоянии статического равновесия. Рассмотрим колебания решетки в рамках классической механики. При смещении атома относительно других атомов кристалла возникает сила, стремящаяся вернуть его в равновесное положение.
Если смещения невелики, мы можем разложить зависимость силы от смещений в ряд и ограничится линейными по смещениям членами. Тогда колебания кристаллической решетки будут линейными, то есть будут описываться системой линейных дифференциальных уравнений. Такая система уравнений обладает важным свойством: если есть несколько решений, то их сумма также является решением и сумма двух возможных колебаний – тоже колебание. Эта система может быть решена, если известна зависимость силы, действующей на атом, от его смещения, а основные характеристики линейных колебаний могут быть предсказаны на основании одних только свойств симметрии кристалла.
Чтобы показать главные черты линейных колебаний кристаллической решетки, мы рассмотрим простейший случай одномерного кристалла – одномерную цепочку атомов. 1.1
Система таких уравнений, записанных для каждого атома, полностью описы... Если рассматривать только длинноволновые колебания, т. колебания с длиной волны много большей периода цепочки a, то можно зам... При такой длине волны соседние атомы цепочки движутся в противофазе. Чтобы оценить эту частоту, надо знать порядок величины постоянной г.
Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке. Амплитуды колебаний маленького и большого атомов A и B в общем случае ... Перепишем ее в стандартном виде: (25) Такая система имеет решения лишь... дисперсионное уравнение: M1M2щ4 – 2г(M1+M2)щ2+2г2(1–cos ka) = 0 (26). 1.3.
По направлению амплитуды относительно волнового вектора акустические к... Соответственно, кроме трех акустических, эти кристаллы обладают тремя ... Фононы являются бозе-частицами: число фононов, соответствующих определ... Здесь k – постоянная Больцмана. С точки зрения квантовой (да и классич... Средняя энергия колебания при этом равна kT.
Акустическая и оптическая ветки колебаний. Итак, для каждого волнового... Точнее, есть две непрерывные функции щ(k), которые отличаются знаком п... Говорят, что существуют две ветви колебаний. Напомним, что волновые вектора, отличающиеся на вектор обратной решки,... (Вследствие этого функция щ(k) периодична с периодом обратной решетки ...
На границе зоны Бриллюэна: (35) При ka<< 1 (длинные волны): (36)... Эта система разрешима, когда ее определитель равен нулю, а определител... A = B: атомы движутся в фазе с одинаковыми амплитудами. Рис. Амплитуды атомов цепочки в случае длинноволновых акустических колебани...
3.3. При длинноволновых акустических колебаниях атомы ячейки движутся в фаз... (Было показано, что из-за дискретности цепочки волновые вектора, отлич... вектором из первой зоны Бриллюна.) Чтобы иметь дело не с непрерывным, ... ровно столько, сколько примитивных ячеек укладывается на длине L.
Дело в том, что при любых, сколь угодно низких температурах в кристалл... Плотность разрешенных значений волновых векторов в k-пространстве крис... Здесь - плотность состояний фононов. Иными словами, объем этого шара должен быть равен объему зоны Бриллюэн... Оптические и акустические фононы отвечают за различные свойства криста...
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников. – М.: Мир, 1965. – 588 с. 2. Басс Ф. Г. Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках. – М.: Наука, 1984. – 287 с. 3. Дущенко В. П Кучерук И. М. Общая физика. – К.: Высшая школа, 1995. – 430 с. 4. Епифанов Г. И. Физические основы микроэлектроники.
М.: Советское радио, 1971, 374 с. 5. Зисман Г. А Тодес О. М. Курс общей физики. В 3 т. – М.: Наука, 1995. – 343 с. 6. Кухлинг Х. Справочник по физике: Пер. с нем. – М.: Мир, 1983. – 520 с. 7. Случинская И. А. Основы материаловедения и технологи полупроводников. М.: Либрус, 2002, 376 с. 8. Харрисон У. Теория твёрдого тела. – М. :Мир. – 1978. – 616 с. 9. Шалимова К. В. Физика полупроводников.
М.: Энергия, 1976, 417 с. 10. Яворский Б. М Детлаф А. А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1982. – 846 с.