Приближенные способы определения частот свободных колебаний. Энергетический способ.

Приближение точных приемов для систем с числом степеней свободы более 3-х связаны с громоздкими вычислениями, к-е значительно усложняется при учете собственного веса. Это обстоятельство заставляет прибегать к применению приближенных способов определения частот. Во многих задачах определение всех частот оказывается излишним и достаточно определить первую наименьшую частоту колебаний. Это возможно только в том случае, если частота собственных колебаний больше частоты возмущающей нагрузки и следовательно резонанс с более высокими частотами не возможен. Для отыскания 1-й частоты могут быть использованы приближ. способы:

-способ приведенных масс;

-замены распределенных масс – сосредоточенными;

-энергетический способ.

Энергетический способ:

В его основу положен закон сохранения энергии: при колебаниях системы в любой момент времени сумма кинетических и потенциальных энергий останься постоянной: U+V=const.

U=0 V=max Qmax U=max V=0 Qmin=0

Umax=Vmax (1)

Если форма колебаний, т.е. вид упругой деформации был бы нам известен заранее, то ур-е (1) привело бы к строгому решению. Для приближенного решения задачи можно задать форму стоящей волны: y=f(x), к-е удовлетворяло бы граничным условиям:

y(x,t₎=y(x)sin(ωt+φ₀) (2)

y΄(x,t₎=v(x)=y(x)ωcos(ωt+φ₀) (3)

при cos(ωt+φ₀)=1 (4)

Потенциальная энергия по ур-ю Клайперона: (5) (6). Если на систему действуют распределенные массы, то формула (6) предст-ся в виде: (7) Если масса =const . При пост. по длине балки получаем в числитель, представляющий собой эпюру прогибов. В качестве ф-ции y(x) можно брать любую кривую, к-ая удов-ет граничным условиям – кривую соотв-ю стат-му напряжению (полуволну синусоиды).