Обратная решетка и пространство волновых векторов. Базисные векторы обратной решетки. Зоны Бриллюэна. Дифракционные условия Лауэ

Назовем обратной решеткой по отношению к данной пространственной решетке, заданной векторами , совокупность векторов , удовлетворяющих условию

. (5.1)

Оно имеет место, если

, (5.2)

где m – любые целые числа.

Условие (2) – это система линейных уравнений для компонент вектора . Легко получить три линейно независимых частных решения системы (2). Последовательно полагая в (4) , , и умножая соответственно на векторы , , , находим линейно независимые частные решения вида

или . (5.3)

Их суперпозиция определяет векторы обратной решетки

, (5.4)

где m₁, m₂, m₃ – любые целые числа, а

, , (5.5)

– базисные векторы обратной решетки.

Первая или основная зона Бриллюэна – это ячейка Вигнера-Зейтца для обратной решетки. Объем зоны Бриллюэна равен

. (5.6)

Дифракционные максимумы при облучении кристалла рентгеновскими лучами соответствуют изменениям волнового вектора фотонов на вектор обратной решетки . Формулы (2) представляют собой дифракционные условия Лауэ.

9. Дифракция в кристаллах. Экспериментальные методы исследования строения кристаллов: рентгенография, электронография и нейтронография

Положение интерференционных максимумов при отражении рентгеновских лучей от атомных параллельных плоскостей кристалла определяется формулой Вульфа-Брэггов:

, (4.7)

где q – угол скольжения, порядок максимума n = 1, 2, 3, ..., l – длина волны,
d – межплоскостное расстояние.