Кинематика поступательного движения.

Поступательным называется движение твердого тела, в котором произвольная прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе в процессе движения.

Линию, которую описывает произвольная точка тела в процессе движения, называют траекторией движения. В поступательном движении траектории движение всех точек тела одинаковые, поэтому достаточно изучить движение одной точки и движение всего тела будет изучено. Моделью для изучения поступательного движения принимается материальная точка - это тело, размеры которого не существенные в постановке конкретной задачи. Материальная точка имеет массу тела. Графически изображается, как и в математике: „×”. Ее положение в пространстве может быть задано (рис. 5.1) тройкой координат x, в, z (координатный способ); с помощью радиус-вектора (векторный способ); длиной отрезка траектории (путь S), если траектория известна (естественной способ) (см. рис. 5.1 а); если точка движется по окружности, то все эти методы могут быть использованными и очень полезным может быть задание радиус-вектора в полярных координатах , то есть радиусом окружности R и углом j его наклона к определенному направлению (рис. 5.1 б).

Основная задача механики в переводе на язык математики сводится к построению функций:

x=x(t), у=у(t), z=z(t), , S=S(t), j=j(t). (1.1)

Решается такая задача, как это принято в науке, путем дифференцирования характеристик положения тел с последующим интегрированием и поиском первообразных функций (1.1).

На этом пути вводятся кинематические характеристики: первая производная – скорость и вторая производная – ускорение, которая являются скоростью изменения скорости. Как это известно из динамики, ускорение движения тела находится по силам, действующим на тело, поэтому третью и другие производные вводить нет необходимости. Известные выражения первой, или второй производных это дифференциальные уравнения, решение которых дает возможность найти первообразную функцию и дать ответ на основную задачу механики, то есть построить функции (1.1).

Рассмотрим особенности решения задачи механики разными методами. Начнем с наиболее общего инвариантного, то есть независимого от выбора конкретной системы координат, векторного способа.

Векторный способ. Положение точки в пространстве задается с помощью радиус-вектора , то есть вектора, определяющего положение точки относительно какого-то полюса, например начала координат О (см. рис. 5.1). Способ требует построения функции , или, так как

где (1.2)

перемещение точки (см. рис. 5.1 а), функции Скорость при векторном способе называется скоростью движения, либо скоростью перемещения и равняется первой производной от радиус-вектора, либо от перемещения точки по времени:

(1.3)

Скорость перемещения – величина векторная и направлена по касательной к траектории в сторону направления движения точки (см. рис. 5.2 а), как и бесконечно малое перемещение: .

Ускорение (ускорение движения или ускорение перемещения точки) – это скорость изменения скорости и первая производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора или перемещения:

. (1.4)

Ускорение движения или ускорение перемещения является величиной векторной . В общем случае направлено в сторону вогнутости траектории (рис. 5.2 б), имеет размерность =м/с².

Ускорение движения материальной точки может быть представленным в виде суммы двух составляющих а_t и а_n (см. рис. 5.2 б), физическое содержание которых можно понять если найти производную от скорости движения, представленной как произведение ее модуля V на единичный вектор касательной к траектории

 

(1.5)

Из курса математики известно, что где единичный вектор внутренней нормали к траектории движения, а R – радиус ее кривизны в исследуемой точке. Подставив полученное выражение в формулу (1.5) получим

(1.6)

По смыслу, как это следует из анализа выражений (1.5) и (1.6), тангенциальное ускорение характеризует скорость изменения скорости по модулю, а нормальное ускорение характеризует скорость изменения направления скорости. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения точки или в сторону движения, если скорость растет, или антипараллельно скорости, если скорость уменьшается (см. рис. 5.2 б). Нормальное ускорение направлено по внутренней нормали к центру кривизны траектории. Численное значение ускорения

(1.7)

Тангенциальное и нормальное ускорение могут быть признаками разных движений:

1) = const – равнопеременное движение;

2) а_n = 0 прямолинейное движение;

3) = 0, ¹ 0 – равномерное криволинейное движение;

4) =0, =const – равномерное движение по окружности.

Координатный способ требует построения функций x=x(t), у=у(t), z=z(t). Соответственно в координатном способе изучения вводятся скорости координат как первые производные от соответствующих координат:

 

(1.8)

и ускорение координат, которые характеризуют скорость изменения скорости соответствующих координат точки:

 

(1.9)

Введенные величин скорости и ускорения координат сугубо скалярные. Могут быть положительными, отрицательными или нулями в зависимости от того, растут или уменьшаются или остаются неизменными во времени координаты или скорости координат.

Естественный способ используется в том случае, когда траектория движения известна, то есть в каждой ее точке являются известными единичные векторы касательной , внутренней нормали (для пространственной кривой также внутренней бинормали ) и радиус кривизны траектории R. Соответствующие кинематические характеристики: путь S – как длина отрезка траектории, пройденной точкой; путевые скорость и ускорение, является величинами сугубо скалярными положительными. Для ответа на основную задачу механики необходимо построить функцию S=S(t).

Путевая скорость вычисляется, как первая производная от пути:

, размерность м/с. (1.10)

Путевое ускорение:

. (1.11)

В естественном способе изучения движения практический смысл имеют средние скорость и ускорение:

(1.12)

то есть средняя путевая скорость движения равняется отношения пути, пройденного телом, ко времени движения, а среднее значение ускорения равняется отношению изменения путевой скорости к промежутку времени, за которое это изменение состоялось.

Изучение движения материальной точки по окружности, как это было указано выше, полезно провести в представлении радиус-вектора в полярных координатах (см. рис. 5.2 б). Потому что R, как радиус окружности, остается неизменным на протяжении всего движения, поиск функции сводится к поиску зависимости j = j(t). С этой целью вводятся угловые характеристики.

Угол поворота радиус-вектора j и его дифференциал dj есть величины скалярные (хотя могут считаться аксиальными векторами), поэтому и угловая скорость и угловое ускорение вращения радиус-вектора исследуемой точки также величины скалярные.

Угловая скорость

(1.13)

(может считаться аксиальным вектором как и дифференциал угла поворота).

Угловое ускорение – это первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота. За единицу углового ускорения принято рад/с².

(1.14)

(может считаться аксиальным вектором как и угловая скорость и дифференциал угла поворота).

Связь между характеристиками движения в разных способах представления

Координатный способ

По определению радиус-вектор имеет своими проекциями координаты исследуемой точки -, где - единичные векторы, соответствующих координатных осей. Если взять производную по времени от левой и правой частей, равенство не нарушится:

(1.15)

Но вектор скорости в проекциях на оси координат имеет вид

, (1.16)

поэтому, сопоставив выражения (1.16) и (1.15), имеем вывод, проекции скорости совпадают со скоростями соответствующих координат:

(1.17)

Модуль скорости

(1.18)

Соответственно для ускорения:

(1.19)

(1.20)

Естественной способ и движение точки по окружности.

По определению путевая скорость ,ибесконечно малая дуга совпадает с соответствующей ей хордой : Поэтому

, (1.21)

то есть модуль скорости равняется путевой скорости. Кроме того, как это было записано выше,

(1.22)

В движении по окружности путь, пройденный точкой, то есть дуга окружности, выражается через радиус и центральный угол (см. рис. 5.1 бы): поэтому связь между линейными и угловыми характеристиками такая:

. (1.23)

В практических исследованиях движение точки по окружности выражают в числе оборотов N и скорость движения точки по окружности

(1.24)

Ввиду того, что где Т – период обращения точки по окружности. Таким образом

(1.25)

Для ускорения и его составляющих, ввиду приведенных выше связок имеем:

(1.26)

Развернуть

Открыть в широком формате