УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий вектор |c_xñ есть собственный для оператора координаты :

|c_xñ = x|c_xñ.

 

Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор |yñ:

 

|yñ = òdx|c_xñác_x|yñ,

 

где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный. Таким образом, вектор |yñ задается континуальным множеством чисел

ác_x|yñ º y(x),

 

т.е. фактически некоторой функцией y(x) от x. Она называется волновой функцией частицы. Из нормированности вектора |yñ имеем:

 

1 = áy|yñ = òdx^Rdxáy|cñác|c_xñác_x|yñ =

= òdx^Rdxáy|cñ d(x-x^R)ác_x|yñ = òdxy^*(x)y(x)dx = òdx|y(x)|²,

т.е. волновая функция нормируется условием

 

ò|y(x)|² dx = 1.

 

Волновая функция y(x) -это координатная реализация вектора |yñ состояния y из абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором из функционального пространства L₂. Если векторы |y₁ñ и |y₂ñ нормируемы, то их скалярное произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:

 

áy₁|y₂ñ = òdxy*₁ (x)y₂ (x)

 

(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).

Возьмем произвольный вектор |yñ, подействуем на него оператором и введем обозначение

 

|yñ º |ñ.

Для волновой функции состояния имеем:

 

(x) = ác_x |ñ = ác_x||yñ º (c_x,y) = (c_x,y) =

= x (c_x,y) = xy_x.

Таким образом,

 

y(x) = xy(x) Û = x,

 

т.е. в координатной реализации оператор есть просто оператор умножения на независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии y имеем:

 

áxñ_y = áy ||yñ º áy₁|y₂ñ = òy^*₁ (x)y₂ (x)dx =

 

= òy^* (x){xy(x)}dx,

 

т.е.

áxñ_y = òdx×x|y(x)|².

 

Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля |y(x)|² задает плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из общей теории - из определения y(x) как ác_x|yñ и из вероятностной интерпретации ác_x|yñ (см. РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что y(x) = ác_x|yñ есть амплитуда вероятности перехода частицы из состояния y в состояние c_x (см. постулат II).

Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени. В фиксированный момент времени t₀ функция y(x,t₀) однозначно определяет состояние y. Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию системы, т.е. состояние y в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию y(x,t). Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как раз и достаточно задать y(x,t₀), (но не ее производные). Поэтому можно записать

 

.

 

Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было = - см. ниже), а - некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.

Докажем эрмитовость оператора . Имеем очевидное равенство

 

,

 

так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак интеграла и дифференцируем:

 

.

 

Подставляем производные и из уравнения и сопряженного ему:

 

, .

 

Получаем

0 = ò dx (y^*+y - y^*y),

т.е.

 

y^*ydx = ò⁺ydx Û (y,y) = (y,y).

 

В силу произвольности y это и означает эрмитовость :

 

= ⁺.

 

Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это значит, что оператор не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом разделения переменных. Ищем частное решение в виде

 

y(x,t) = Q(t)y(x)

и подставляем в уравнение

 

,

где w - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Q(t) сразу получаем решение

 

Q (t) = const.e^-iwt.

 

Значения же w находятся как собственные значения оператора :

 

y(x) = wy(x).

 

Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными w. Считая их спектр дискретным, запишем общее решение как

 

y(x,t) = y_n (x)

(коэффициенты линейной комбинации включаем в y_n (x)).

Разложим функции y_n (x) в интеграл Фурье и подставим в y(x,t):

 

y(x,t) = òdk^+ikx(k).

 

Вводя обозначения

E º iw, p º ik,

 

получим:

y(x,t) = òdp,

 

где

.

 

Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).

Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для этого сделаем отступление. Пусть - произвольный оператор, и |j_nñ - его собственные функции. Разложим по ним произвольный вектор |yñ:

 

|yñ = c_n|j_nñ

и подействуем на него оператором:

 

|yñ = c_nA_n|j_nñ .

 

Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное разложение для y(x,t)и действуем на него оператором :

y(x,t) = òdpE_n

 

Так как «вышиблись» значения энергии E_n, то оператор энергии есть

= .

 

Аналогично,

y(x,t) = òdp×p,

 

а потому оператором импульса является

 

= .

 

Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на i:

= iy(x,t).

 

Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона

 

i= .

 

В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к уравнению Шредингера

 

= y(x,t).

Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае y = y(r,t), где r=(x, y, z). Общее решение уравнения Шредингера запишется как

y(r,t) = òdp.

Операторы

=

 

есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет таким:

 

.

 

Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора Гамильтона . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит: