Реферат Курсовая Конспект
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА - раздел Механика, Л Е К Ц И Я 3 ...
|
Л Е К Ц И Я 3
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ
Если в классической механике некоторая динамическая величина есть функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.
Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.
РЕЗЮМЕ
В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и времени t: y = y (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера
i= ,
где - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид
y (q, t) = Q(t)×y (q),
причем функции y и Q подчиняются уравнениям
yE (q) = E yE (q), ii(t).
Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический спектр {Е} системы и собственные функции yE(q), т.е. функции состояний, в которых энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать второе уравнение:
QE (t) = .
В результате получим набор состояний с волновыми функциями
yE(q, t) = yE (q) ,
в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном состоянии плотность вероятности
r (q, t) = | yE (q, t) |2 = | yE (q) |2 ,
т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения физических величин.
Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В классической механике ее функция гамильтона есть
H = .
В квантовой механике получим оператор Гамильтона
= =+V(r,t).
Уравнение Шредингера будет записываться как
= {+}y(r,t).
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
yE (r) = Е yE (r) Þ {+V(r) } yE (r) = Е yE (r)
(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных не возможно).
Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):
-= {+V(r)}y* (r,t).
Умножая УШ слева на y*, а сопряженное УШ - слева на y и производя вычитание, получим:
º = (-) º
º (.
Величина
r (r,t) = |y(r,t) |2
есть плотность вероятности. Введем вектор
j(r,t) = (y*y,
чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:
+ div j= 0.
Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности. Поскольку r - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность потока вероятности.
В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных состояний имеют вид
y(r,t) = yE (r),
где yE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от времени величины:
r = | yE (r)|2, j= .
– Конец работы –
Используемые теги: уравнение, шредингера0.049
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов