ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАНТОВОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ

 

Вернемся к квантовому осциллятору с гамильтонианом

+1/2mw²².

Перепишем его, вводя вместо и новые операторы

, ,

 

связанные друг с другом операцией сопряжения:

 

, .

 

Из коммутационного соотношения

 

[,] =

сразу следует, что

 

[] = ,

 

(это проверяется прямой подстановкой). Кроме того, выражая и через и

и подставляя результаты в , получим

 

= ).

 

Отсюда элементарно проверяются коммутационные соотношения

 

[,] = ; [,] = -.

 

Пусть y_n- собственная функция с собственным значением :

 

y_n = E_ny_n.

Тогда

y_n

или 0, или собственная функция с собственным значением -. Действительно, используя коммутатор с , имеем:

 

(y_n) = ()y_n = (-)y_n =

= (E_n-)y_n = (E_n- )(y_n).

 

Аналогично устанавливается второе утверждение. По этой причине называется понижающим оператором, а -повышающим оператором.

Но энергетический спектр осциллятора ограничен снизу - есть минимальная энергия E₀, которой отвечает собственная функция y₀ гамильтониана. Дальше понижать некуда, и должно быть

 

y₀ = 0.

 

Действуем на эту функцию гамильтонианом:

y₀ = (+ )y₀ = 0 + y₀ = y₀.

Таким образом,

E₀ = .

 

Функция y₀ есть волновая функция основного состояния (его называют также вакуумным состоянием). Она должна быть нормирована:

 

(y₀, y₀) = 1.

 

Действуя на нее последовательно оператором , будем получать волновые функции новых стационарных состояний, повышая энергию каждый раз на . Придем к последовательности энергий

 

, +, + 2 ,...

т.е.

E₀ = (n+1/2).

 

Волновая функция стационарного состояния с E_n есть

 

y_n = c_n(₊)ⁿy₀,

 

где c_n- нормировочные постоянные. Для таких функций

 

y_n = E_ny_n, E_n = (n+1/2).

Записывая

y_n = (+1/2)y_n = E_ny_n = (n+1/2) y_n,

Получим

y_n = ny_n, º ,

 

т.е. спектр оператора состоит из неотрицательных целых чисел 0,1,...

Терминология и физическая интерпретация таковы. Состояние с функцией y_n «состоит» из остова (основного состояния) с энергией E₀ = 1/2 и из n «квазичастиц» - квантов возбуждения с энергиями = у каждого. Оператор (часто обозначается просто ) есть оператор уничтожения, а оператор (обозначение ) - оператор рождения квантов возбуждения ( квазичастиц ). Оператор есть оператор числа квазичастиц (числа квантов возбуждения).

Естественные и довольно очевидные обобщения построенной схемы играют фундаментальную роль в статистической физике, физике твердого тела, квантовой теории поля и т.д., так как составляют основу метода вторичного квантования. Поэтому хорошо сформулировать данную схему на более абстрактном языке.

Представление чисел заполнения (- представление, базис Фока)

Отказываемся полностью от координатного представления, вводим через и операторы и с коммутационным соотношением

 

[,] = ,

 

записываем через них гамильтониан осциллятора

 

= (+1/2) º (+1/2)

 

и выбираем в качестве базисных векторы

 

,

где

|0ñ = 0,

 

а каждый |nñ - собственный вектор гамильтониана:

 

|nñ = E_n|nñ, E_n = (n +1/2).

 

Произвольный вектор состояния представляется разложением

 

|yñ = y_n|nñ

 

и описывается волновой функцией (последовательностью) {y_n} в n- представлении:

y_n = án|yñ.

 

Смысл ее в том, что |y_n |²есть вероятность того, что в состоянии y мы получим при измерении энергии значение E_n, т.е. обнаружим в этом состоянии n квантов возбуждения.

Имеют место следующие очень важные соотношения:

 

|nñ = |n+1ñ

и

|nñ = .

Первое проверяется непосредственно:

 

|nñ = º|n+1ñ.

 

Второе доказываем по индукции. При n=0 оно выполняется в силу определения |0ñ. Допустим, что

 

|n-1ñ = |n-2ñ.

 

Тогда, используя только что доказанное и коммутатор [,] = , имеем:

|nñ = |n-1ñ =()|n-1ñ = (+ )|n-1ñ =

={|n-1ñ +|n-1ñ} = {|n-1ñ +|n-1ñ} =|n-1ñ,

 

что и требовалось доказать. Теперь легко установить, что {|nñ} - базис ортонормированный:

 

ám|nñ = d_mn.

 

Действительно, (m³n):

ám|nñ = á0||n-1ñ =

 

= = d_mn.

 

Как и всегда, в заданном представлении операторы представляются некоторыми матрицами - в данном случае

 

® F_mn = ám||nñ.

 

Зная действие операторов _- и ₊ на |nñ, сразу находим их матрицы:

ám|_-|nñ = ám|n-1ñ = d_m,n-1

и

ám|₊|nñ = ám|n+1ñ = d_m,n+1,

т.е.

(_m)_mn = d_m,n-1, (₊)_mn = d_m,n+1

 

Еще проще матрица оператора числа квантов возбуждения:

 

ám||nñ = nám|nñ = nd_m,n.

Как и положено быть матрице оператора в собственном представлении, она диагональна:

 

()_mn = nd_m,n.

 

В явном виде

, , .

 

Напомним, что векторы состояний представляются матрицами-столбцами:

...

От n- представления легко перейти в - представление и найти волновые функции в явном виде. Основное условие

 

_-|0ñ = 0

 

в координатном представлении записывается как

 

)y₀(x) = 0; = x, = ,

 

или, переходя к безразмерной координате y=x/x₀,

 

(y+)y₀(y) = 0.

 

Общее решение этого уравнения очевидно:

y₀(y) = C₀.

 

Константу C₀ находим из условия нормировки:

1 = (y₀, y₀) ==

 

=C²x₀,

так что

y₀(y) = .

 

Для волновой функции n-го стационарного состояния имеем:

 

Но это и есть функция Эрмита. Действительно, учитывая, что

 

,

и полагая

f(y) =,

 

придем к функциям Эрмита в форме Родрига

 

,

 

которые уже были выписаны (но не получены!) в начале лекции.