МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

 

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

 

Учебное пособие

 

2-е издание, исправленное и дополненное

 

Омск 2007

УДК 531+539.19+536 (075) ББК 22.2+22.36+22.317я73 М51

ВВЕДЕНИЕ

 

Цель настоящего учебного пособия – оказать помощь студентам заочной и вечерней форм обучения инженерно-технических специальностей высших учебных заведений в изучении курса физики по разделам:

- классическая механика;

- специальная теория относительности (релятивистская механика);

- молекулярная физика;

- термодинамика.

Это соответствует первому семестру в изучении курса физики.

В пособии приводится содержание теоретического курса по перечисленным разделам и требования к оформлению контрольных заданий, которыми следует руководствоваться при самостоятельной работе.

Основной учебный материал программы курса в пособии распределен на два раздела. В каждом из них даны примеры решения физических задач, задачи для самостоятельного решения с ответами и контрольное задание по данному разделу. Задачи в контрольных заданиях подобраны так, чтобы закрепить тот учебный материал, который излагается в данном разделе.

При работе с пособием студентам-заочникам рекомендуется следующее:

1. Выбрать какой-либо учебник по курсу физики из тех, что приводятся в списке литературы. В данном пособии учебный материал излагается в сжатой форме, поэтому необходимо использовать дополнительную литературу. Это позволит усвоить доказательства основных законов физики и примеры их использования при решении задач.

2. Чтение учебного пособия следует сопровождать составлением конспекта, в котором записываются формулировки законов и формулы, выражающие законы, определения физических величин и единиц их измерения, делаются рисунки и выполняется решение типовых задач.

3. Самостоятельную работу по изучению физики студент должен подвергать систематическому самоконтролю. С этой целью после изучения очередного раздела следует ставить вопросы, касающиеся формулировок законов, определений физических величин, и отвечать на эти вопросы. При этом надо использовать рабочую программу (содержание теоретического курса). Студент не должен ограничиваться только запоминанием физических формул. От него требуется умение самостоятельно делать выводы формул и проводить доказательства физических законов.

4. Чтобы подготовиться к выполнению контрольной работы, следует после изучения очередного раздела внимательно разобрать помещенные в пособии примеры решения типовых задач, решить задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

 

 

 

РАЗДЕЛЫ СОДЕРЖАНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В ПОСОБИИ

1. Физические основы механики

Кинематика и динамика. Основные физические модели: частица (материальная точка), система частиц, абсолютно твердое тело.

Элементы кинематики

Пространственно-временные отношения. Система отсчета. Скалярные и векторные физические величины. Основные кинематические характеристики движения частиц. О смысле производной и интеграла в приложении к физическим задачам. Уравнения движения. Скорость и ускорение частицы при криволинейном движении. Движение частицы по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение. Поступательное и вращательное движения абсолютно твердого тела.

Элементы динамики

Понятие состояния в классической механике. Основная задача динамики. Первый закон Ньютона. Понятие инерциальной системы отсчета. Масса. Уравнение движения. Третий закон Ньютона.

Законы сохранения в механике

Закон сохранения импульса. Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Закон сохранения энергии в механике.

Элементы механики твердого тела

Уравнение движения и равновесия твердого тела. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движения. Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Момент инерции твердого тела относительно оси.

Принцип относительности в механике

Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования.

Элементы релятивистской динамики

Принцип относительности в релятивистской механике. Преобразование Лоренца для координат и времени и их следствия. Релятивистский импульс. Инвариантность уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Полная энергия частицы.

Молекулярная физика и термодинамика

Динамические и статистические закономерности в физике. Термодинамический и статистический методы.

Элементы молекулярно-кинетической теории

Макроскопическое состояние. Физические величины и состояния физических систем. Макроскопические параметры как средние значения. Модель идеального газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Понятие о температуре. Тепловое равновесие. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Явления переноса. Диффузия. Теплопроводность. Коэффициент диффузии. Коэффициент теплопроводности. Теплопроводность. Диффузия в газах, жидкостях и твердых телах. Вязкость. Коэффициенты вязкости газов и жидкостей.

Элементы термодинамики

Термодинамические функции состояния. Работа в термодинамике. Внутренняя энергия. Первое начало термодинамики. Обратимые необратимые процессы. Энтропия. Второе начало термодинамики. Третье начало термодинамики. Цикл Карно. Максимальный к.п.д. тепловой машины.

Функции распределения

Микроскопические параметры. Вероятность и флуктуации. Распределение Максвелла. Средняя кинетическая энергия частицы. Распределение Больцмана. Теплоемкость многоатомных газов. Ограниченность классической теории теплоемкости.

Порядок и беспорядок в природе

Энтропия как количественная мера хаотичности. Принцип возрастания энтропии. Переход от порядка к беспорядку в состоянии теплового равновесия.

 

 

Требования к оформлению контрольных заданий

И разъяснения по использованию таблиц

 

Контрольные задания решаются в соответствии с номером варианта. В конце пособия приведены таблицы, где указаны номера задач по соответствующей теме для каждого варианта. Всего по каждой из тем необходимо решить 8 задач.

 

Контрольные задания оформляются в обычной тетради (в клетку) или в сброшюрованных листах форматом А4. На титульном листе указываются:

- Ф И О студента, номер группы и факультет;

- название контрольного задания и номер варианта.

 

Порядок оформления решения задач

1. После слова "дано" выписать все величины с их числовыми значениями, которые будут использованы в процессе решения задачи. Числовые значения, исключая те случаи, когда определяются безразмерные отношения, тут же переводить в систему СИ, проставляя рядом соответствующее наименование. Далее выписать все искомые величины (или отношения величин) со знаком вопроса.

2. Указать те основные законы и формулы, на которых базируется решение данной задачи. Разъяснить смысл буквенных обозначений, входящих в исходную формулу. Если такая формула является частным случаем фундаментального закона, то ее необходимо вывести из этого закона, используя граничные условия.

3. Сделать чертеж или график, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно). Выполнить его надо аккуратно, желательно размером на полстраницы, при помощи карандаша, циркуля, линейки, лекал. На чертеже или графике должны быть нанесены обозначения всех буквенных величин, которые используются в расчетных формулах и могут быть пояснены чертежом.

4. Каждый этап решения задачи сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.

5. Произвести расчеты, записать в ответе числовое значение и сокращенное наименование единиц измерения искомой величины.

6. При подстановке в рабочую формулу, а также при выражении ответа числовые значения величин записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на десять в соответствующей степени. Например, вместо 3520 надо записать 3,52×103 , вместо 0,00129 записать 1,29×10-3и т.д. Рекомендуемая запись числовых значений облегчает расчетные действия с ними, является более компактной и наглядной.

 

I. МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Кинематика поступательного и вращательного движений материальной точки  

Динамика поступательного и вращательного движений

Законы Ньютона

 

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Система отсчёта, связанная со свободным телом, называется инерциальной системой отсчёта (ИСО). По отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.

К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,,...,может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы :

=++...+=.

Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствие внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: .

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему: .

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

.

 

Если масса тела остается постоянной, то ускорение, приобретаемое телом относительно инер­ци­аль­ной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

.

 

Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга взаимо­дей­ствующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:

,

где – сила, действующая на первое тело со стороны второго,

– сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных то­чек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимо­действуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

 

2.2. Динамика вращательного движения твердого тела

 

Вращательное действие силы харак­те­ризуется мо­ментом силы относительно точки (рис. 5а) и относительно оси (рис. 5б).

Для того чтобы определить момент силы относительно точки О, проведем из точки О радиус-вектор в точку приложения силы (рис. 5а). Моментом силы относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на силу :

Модуль момента силы M = r×F×sina = F×d, где d = r×sina – плечо силы.

Для того чтобы определить момент силы относительно оси Z, выберем на оси Z произвольную точку, найдем момент силы относительно этой точки, а затем спроецируем на ось Z момент силы относительно точки. Таким образом, момент силы относительно оси – величина скалярная.

Разложим силу на три составляющие (рис. 5б):

– осевая, параллельная оси вращения,

– радиальная, перпендикулярная оси вращения,

– касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющую можно определить как проекцию силы на направление вектора , направленного по касательной к окружности радиусом R, проведенной через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения. Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Составляющие и вращения тела относительно оси Z не вызывают. Вращающее действие силы обусловлено составляющей . Можно показать, что момент силы относительно оси Z

Рис. 5

 

Инертные свойства тела при вращательном движении характеризует момент инерции. Он зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси: .

– момент инерции системы материальных точек;

– момент инерции тела, где – плотность тела.

Рис. 6

Момент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6): .

 

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на импульс материальной точки (рис. 7а):

.

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

.

Моментом импульса материальной точки относительно оси Z называется скалярная величина, равная проекции момента импульса относительно произвольной точки, лежащей на оси Z, на эту ось. Аналогично моменту силы относительно оси, момент импульса относительно оси Z

где p_t – проекция импульса на направление вектора, направленного по касательной к окружности радиусом, проведенной через материальную точку перпендикулярно оси вращения (рис. 7б). Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Рис. 7

 

Момент импульса тела относительно оси вращения

L_Z = I_Z×w_Z,

где I_Z – момент инерции тела относительно оси Z, w_Z – проекция угловой скорости тела на ось Z. Для однородного тела, вращающегося относительно оси симметрии:

.

 

Основной закон динамики вращательного движения:

Скорость изменения момента импульса тела относительно оси равна результирующему моменту внеш­них сил относительно этой же оси (проекция углового ускорения на ось пропор­циональна результирующему моменту внешних сил относительно оси и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно этой же оси):

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следует условие равновесия тел:

 

Работа и механическая энергия

  Работа – это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной… Элементарной работой силы называется величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение:

Законы сохранения в механике

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними… Е = Ек + Еп. Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

; .

При этом сохраняются импульс и механическая энергия системы тел.

 

Если удар абсолютно неупругий, то

.

Тела после такого удара движутся вместе. Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит в энергию неупругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

 

 

4.3. Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел сохраняется:

если .

Если результирующий момент внешних сил не равен нулю, но равна нулю его проекция на некоторую ось, то проекция момента импульса системы на эту ось не изменяется.

 

Элементы специальной теории относительности

5.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца

 

Первый постулат Эйнштейна: никакими физическими опытами, производи­мыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется прямолинейно и равномерно.

Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S и S¢ (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система движется относительно со скоростью вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца.

Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

 

Рис. 8

 

Тогда:

Здесь с = 3×108 м/с – скорость света в вакууме.

 

5.2. Следствия из преобразований Лоренца

 

Рассмотрим системы и (рис. 8).

Относительность промежутков времени между событиями:

где – промежуток времени между событиями, произошедшими в системе отсчета (отсчитывается по часам, находящимся в системе ); – промежуток вре­мени между этими событиями, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

 

Изменение размеров движущихся тел

где L¢ – длина стержня, расположенного вдоль оси и покоящегося в системе S¢ (отсчитывается в системе отсчета S¢); L – длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

 

Релятивистский закон сложения скоростей:

Пусть некоторое тело движется вдоль оси x¢ в системе отсчета со ско­ростью относительно последней. Найдем проекцию скорости этого тела в систе­ме отсчета на ось х этой системы:

 

 

5.3. Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии

 

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m₀ – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя); m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется (релятивистская масса); u – скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс

где m – релятивистская масса.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

,

где m – релятивистская масса; Е – полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта

,

где – полная энергия; – энергия покоя.

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на Dm сопровождается изменением его энергии на DE:

DE=Dm×c².

 

Примеры решения задач

Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид: x = A+Bt+Ct³, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с³. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан­ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре­мени; 5) мгно­венные ускорения в указанные моменты времени.

 

Дано:

x = A + Bt + Ct3 A = 4 м B = 2 м/c C = 0,2 м/c3 t1 = 2 c; t2 = 5 c	Решение 1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение дви­же­­­ния подставить значения t1 и t2: x1 = (4+2×2+0,2×23) м = 9,6 м, x2 = (4+2×5+0,2×53) м = 39 м.
x1, x2, <u>- ? u1, u2 - ? <a>, a1, a2 - ?	2. Средняя скорость,

м/с = 9,8 м/с.

3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения:

u₁ = (2+3×0,2×2²) м/с = 4,4 м/c;

u₂ = (2+3×0,2×5²) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение ,

м/c² = 4,2 м/с².

5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 2×3×Ct = 6Ct.

a₁ = 6×0,2×2 м/c² = 2,4 м/с²;

a₂ = 6×0,2×5 м/с² = 6 м/с².

 

Ответ: x₁ = 9,6 м; x₂ = 39 м; áuñ = 9,8 м/с; u₁ = 4,4 м/c; u₂ = 17 м/с; áаñ = 4,2 м/с²; a₁ = 2,4 м/с²; a₂ = 6 м/с².

Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол a, ко­то­рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

w0 = 0 N = 2 e = const	Решение Разложив вектор точки М на тангенци­аль­ное и нормальное уско­ре­ния, видим, что иско­мый угол определяется соотно­шением tga=at/an.
a - ?

Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы: a_t = eR, a_n = w²R, где R – радиус маховика, получим

tga =

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами e и w;

Поскольку w₀ = 0; j = 2pN, то w² = 2e×2pN = 4pNe.

 

Подставим это значение в формулу, получим:

a » 2,3°.

Ответ: a » 2,3°.

 

 

Задача 3 Две гири с массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью, пе­ре­ки­ну­той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

 

Дано:

m1 = 2 кг m2 = 1 кг	Решение Воспользуемся для решения задачи основным законом динамики где – равнодействующая всех сил, действующих на тело.
a, FН - ?

На тело 1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести и сила

натяжения нити. Для первого тела имеем

(1)

для второго тела

. (2)

Так как сила трения в блоке отсутствует,

.

Ускорения тел а₁ и а₂ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:

.

Получаем из выражений (1) и (2) систему уравнений

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

 

в проекции на ось Х

Решая эту систему относительно а и F_Н, получаем:

= 3,3 м/с²; = 13 Н.

 

Ответ: a = 3,3 м/c² ; F_H = 13 Н.

 

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило­жена каса­тель­ная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

М_ТР=4,9 Н×м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e=100 рад/с².

 

Дано:

R = 0,2 м F = 98,1 Н MТР = 4,9 Н×м e = 100 рад / c2	Решение Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения, записанным для оси вращения, направление которой совпадает с направлением угловой скорости: , где - момент сил, приложенных к телу,
m - ?

относительно выбранной оси ( M_F - момент силы F, M_тр – момент сил трения);

- момент инерции диска.

Учитывая, что M_F=F×R, получаем .

Отсюда ; m = 7,4 кг.

 

Ответ: m = 7,4 кг.

 

Задача 5

Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти работу сил трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.

 

Дано:

m = 20 × 10 3 кг Fтр = 6 × 10 3 Н u = 15 м/c	Решение По закону сохранения механической энергии изменение полной механической энергии определяется работой неконсервативных сил, то есть .
AТР - ? Dr - ?	Так как механическая энергия вагона равна его кинети­ческой энергии, в качестве неконсервативной силы выступает сила

трения. Так как в конце пути скорость вагона равна нулю, то

.

Итак: =-2250 кДж.

По определению, для работы, совершаемой постоянной силой трения:

м.

 

Ответ: r = 375 м.

 

Задача 6 После упругого удара нейтрона о ядро атома углерода он движется в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса М ядра углерода в n=12 раз больше массы m нейтрона, определить, во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в результате удара.

 

Дано:

	Решение Ведем обозначения: u1 – скорость нейтрона до удара, u1¢ – после удара; u2 – скорость ядра углерода после удара (до удара она равна нулю).
a - ?

По законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем:

По условию задачи требуется найти отношение

Из треугольника импульсов (смотри рисунок)

имеем: (mu₁)²+(mu¢₁)²=(Mu₂)².

С учетом записанных выражений, а также соотношения n=M/m получим

u₁²-u¢₁²=nu₂²;

u₁²+u¢₁²=n²u₂².

Разделив почленно последние равенства, получаем

.

Отсюда =1,18.

 

Ответ: a = 1,18.

 

Задача 7 Круглая платформа радиусом R=1,0 м, момент инерции которой J=130 кг×м², вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n₁=1,0 об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого m=70 кг. Сколько оборотов в секунду n₂ будет совершать платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

 

Дано:

R = 1м J = 130 кг × м2 n1 = 1c-1 m = 70 кг	Решение Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции. Это означает, что результирующий момент всех внешних сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Следовательно, для системы “платформа + человек” выполняется закон сохранения момента импульса, который запишем в скалярной форме:
n2 - ?

L₁ = L₂ , (1)

где L₁ - импульс системы «платформа + человек на краю платформы», L₂ - импульс системы «платформа + человек в центре платформы».

L₁ = J₁w₁ = (J+mR²)×2pn₁, (2)

L₂ = J₂w₂ = J×2pn₂, (3)

где mR² - момент инерции человека, J₁ = J+mR² - момент инерции системы «платформа + человек на краю платформы», J₂ - момент инерции системы «платформа + человек в центре платформы», w₁ и w₂ - соответствующие угловые скорости системы. Решая систему уравнений (1) - (3), получаем

n₂ = n₁(J+mR²)/J = 1,5 об/с.

 

Ответ: n₂ = 1,5 с^-1.

 

Задача 8

Определить кинетическую энергию (в электронвольтах) и релятивистский импульс электрона, движущегося со скоростью u = 0,9 c (с = 3×10⁸ м/с - скорость света в вакууме).

 

Дано:

u = 0,9 c	Решение Так как скорость частицы сопоставима по значению со скоростью света в вакууме, то частицу нельзя считать классической. Для нахождения кинетической энергии воспользуемся формулой:
ЕК, р - ?

,

где - масса покоя электрона.

Получаем

Так как ,то

Можно было найти значение кинетической энергии сразу в электрон вольтах, учитывая, что энергия покоя электрона

Релятивистский импульс находим по формуле

,

.

 

Ответ: E_K » 0,66 МэВ; р » 5,6 ×10^-22 кг×м/c.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Поезд движется прямолинейно со скоростью u0 = 180 км/ч. Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тор­мозной механизм. С этого… Ответ: х»235 м, t»7 с.  

Контрольное задание №1

101. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что встречный поезд длиной 210 м прошел мимо него за 6,0 с. Определить скорость встречного поезда.

 

102. При неподвижном эскалаторе метрополитена пассажир под­ни­мается за t₁=120 с, а по движущемуся при той же скорости отно­си­тель­но ступенек – за
t₂=30 с. Определить время подъема пасса­жира, непод­виж­но стоя­щего на движущемся эскалаторе.

 

103. Определить скорость моторной лодки относительно воды, если при дви­же­нии по течению реки её скорость 10 м/с, а при движении против течения – 6,0 м/с. Чему равна скорость течения воды в реке?

 

104. Скорость поезда, при торможении двигающегося равно­замедленно, уменьшается в течение 1 мин от 40 км/ч до 28 км/ч. Найти ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

 

105. Движение материальной точки задано уравнением x=at+bt²+ct³, где

a=5 м/с, b=0,2 м/с², с=0,1 м/с³. Определить скорость точки в момент времени t₁=2 с, t₂=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t₁ до t₂.

 

106. Скорость материальной точки, движущейся вдоль оси х, опре­деляется уравнением u_X = 0,2-0,1t (м/с). Найти координату точки в момент времени t=10 с, если в начальный момент времени она находилась в точке x₀=1 м.

 

107. Самолет для взлета должен иметь скорость 100 м/с. Определить время разбега и ускорение, если длина разбега 600 м; движение самолета при этом считать равноускоренным.

 

108. Автомобиль движется со скоростью u₁=25 м/с. На пути S=40 м про­изводится торможение, после чего скорость уменьшается до u₂=15 м/с. Считая движение автомобиля равнозамедленным, найти модуль ускорения и время торможения.

109. Первую половину пути тело двигалось со скоростью u₁ = 2 м/с, вторую половину пути - со скоростью u₂ = 8 м/с. Определить среднюю скорость движения.

 

110.Точка прошла половину пути со скоростью 10 км/ч. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью 18 км/ч, а последний участок - со скоростью 25,2 км/ч. Найти среднюю скорость движения точки.

 

111. Определить угловое ускорение маховика, частота вращения кото­рого за время N=20 полных оборотов возросла равномерно от n₀=1 об/c до n=5 об/с.

 

112. Определить зависимость угловой скорости и углового ускорения от времени для твердого тела, вра­щающегося вокруг неподвижной оси z по закону j=at-bt², где a=20 рад/с, b=1 рад/с². Каков характер движения этого тела?

 

113. Колесо радиусом R=10 см вращается с постоянным угловым ус­ко­ре­ни­ем e=3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды пос­ле начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) тан­ген­циальное ускорение; 4) нормальное ускорение; 5) полное ускорение.

 

114. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

j = 6,0 t -2,0 t³. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки.

 

115. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения венти­ля­тор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

 

116. Колесо вращается с угловым ускорением 2 рад/с². Через время 0,5 с пос­ле начала движения полное ускорение точек на ободе колеса равно 0,15 м/с². Найти радиус колеса.

 

117. Велосипедное колесо вращается с частотой n=5 c^-1 . Под действием сил трения оно остановилось через Dt=1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделало колесо за это время.

 

118. Ось с двумя параллельными бумажными дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1200 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; пробоины в дисках смещены друг относительно друга на угол 15^о. Найти скорость пули. Силой тяжести, действующей на пулю, пренебречь.

 

119. Движение точки по окружности радиусом 4 м задано уравнением
S = 10 - 2 t + t². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени 2 с.

 

120. Точка движется по окружности радиусом 2 м согласно уравнению S = 2 t³. В какой момент времени нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному? Чему будет равно полное ускорение точки в этот момент времени?

 

121. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с гори­зон­том угол a=45°. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задана уравнением S=Ct², где С=1,73 м/с². Найти коэффициент трения k тела о плоскость.

 

122. Тело массой m=0,5 кг движется так, что зависимость координаты тела от времени t дается уравнением X=Asin(wt), где А=5 см и w=p рад/с. Найти силу F, действующую на тело через время t=(1/6) с после начала движения.

 

123. Невесомый блок укреплен в вер­ши­не двух наклонных плос­кос­тей, составляющих с горизонтом углы a=30° и b=45°. Гири 1 и 2 оди­на­ко­вой массы m₁=m₂=1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Най­ти уско­ре­ние а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь.

 

124. Самолёт делает «мёртвую петлю » радиусом 500 м с постоянной скоростью 360 км/ч. Найти вес летчика массой 70 кг в нижней и верхней точках петли.

 

125. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинули шнур, к концам которого привязали грузы массой 1,5 кг и 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

 

126. Наклонная плоскость, образующая угол 25^о с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

 

127. На автомобиль массой 1т во время движения действует сила трения, равная 0,1 действующей на него силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью:

а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном.

 

128. На столе стоит тележка массой m₁=4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m₂=1 кг?

 

129. Аэростат массой m начал опускаться с постоянным ускорением а. Опре­делить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

130. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, состав­ляю­щей угол 15^о с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъёма тела оказалось в 2 раза меньше времени спуска.

 

131. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого J=50 кг×м² и радиус R=20 см. Момент сил трения вращающегося блока M_ТР=98,1 Н×м. Найти разность сил натяжения нити Т₁-Т₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением

e=2,36 рад/с. Блок считать однородным диском.

 

132. На барабан массой m₀=9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=2 кг. Найти ускорение a груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

 

133. Маховик радиусом R=0,2 м и массой m=10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, равна 14,7 Н. Какую частоту вращения будет иметь маховик через время t=10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

 

134. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, про­ходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой ско­рости вращения диска от времени даётся уравнением w = А + 8 t, где А=const. Найти каса­тель­ную силу, приложенную в ободу диска. Трением пренебречь.

 

135. Маховое колесо, момент инерции которого 245 кг×м², вращается с частотой 20 об / с. Через 1 минуту после того, как на колесо перестал действовать момент сил, оно остановилось. Найти момент сил трения и число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

 

136. Однородный стержень длиной 1м и весом 0,5 Н вращается в вер­ти­кальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,8 × 10^-2 Н×м?

 

137. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения колес о покрытие дороги равен 0,1. При какой скорости автомобиля начнется его занос?

 

138. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 0,5 кг вращается вокруг оси, про­хо­дящей через его центр, под действием касательной силы, приложенной к обо­ду диска. Зависимость угловой скорости диска от времени дается урав­не­ни­ем w=A+Bt, где В=8 рад/с². Найти величину каса­тель­ной силы. Трением пренебречь.

 

139. Найти момент импульса земного шара относительно оси вращения.

 

140. Грузик, привязанный к шнуру длиной L=50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол (в градусах) образует шнур с вертикалью, если частота вращения n=1 c^-1?

 

141. Под действием постоянной силы вагонетка прошла путь 5 м и приобрела скорость 2 м/с. Определить работу силы, если масса вагонетки 400 кг и коэффициент трения равен 0,01.

 

142. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъёме груза массой 100 кг на высоту 4 м за время 2 с.

 

143. На тело, двигавшееся со скоростью 2 м/с, подействовала сила 2 Н в направлении скорости. Через 10 с после начала действия силы кинетическая энергия тела оказалась равной 100 Дж. Найти массу тела, считая его материальной точкой.

 

144. Найти работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от 2 м/с до 6 м/с на пути в 10 м. На всём пути действует постоянная сила трения, равная 2 Н. Масса тела равна 1 кг.

 

145. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой в

1000 кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км /ч:

1) по горизонтальной дороге, 2) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути, 3) под гору с тем же уклоном. Коэффициент трения 0,07.

 

146. Маховик вращается согласно уравнения j = 2+16t-2t². Момент инерции маховика равен 50 кг×м². Найти вращающий момент сил и закон, по которому меняется мощность. Чему равна мощность в момент времени 3 с?

 

147. Ремённая передача передаёт мощность 9 кВт. Шкив передачи имеет диа­метр 0,48 м и вращается с частотой 240 об/мин. Натяжение ведущей ветви ремня в два раза больше натяжения ведомой ветви. Найти натяжение обеих ветвей ремня.

147. Якорь мотора вращается с частотой 1500 об/мин. Определить вра­ща­ю­щий момент сил, если мотор развивает мощность 500 Вт.

 

149. Диск массой 1 кг и диаметром 0,6 м вращается вокруг оси, проходящей че­рез центр перпендикулярно его плоскости, делая 20 об/с. Какую работу надо со­вер­шить, чтобы остановить диск ?

 

150. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью u=2м/с, прошел до полной остановки расстояние S=20,4 м. Найти коэффициент трения камня по льду, считая его постоянным.

 

151. Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка? С какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

 

152. Пуля, летящая горизонтально со скоростью u = 400 м/c, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной L = 4м, и застревает в нем. Определить угол a , на который отклонится брусок, если масса пули m₁ = 20 г, а бруска m₂ = 5кг.

 

153. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку, отка­ты­ва­ет­ся от неё. Скорость шара до удара 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество теп­ла, выделившегося при ударе.

 

154. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизон­таль­ном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое расстояние отка­тится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед равен 0,02.

 

155. Тело массой 2 кг движется навстречу второму телу массой 1,5 кг и не­уп­руго сталкивается с ним. Скорости тел перед столкновением 1 м/с и 2 м/с соот­вет­ственно. Сколько времени будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения равен 0,1?

 

156. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от неё с такой же по модулю скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30° к плоскости стенки.

 

157. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями 5 м/с и 7 м/с соот­вет­ственно. Определить скорость шаров после прямого неупругого удара, если большой шар догоняет меньший.

 

158. Абсолютно упругий шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся упругим шаром большей массы. В результате центрального прямого удара шар потерял 36 % своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

 

159. Стержень длиной 1,5 м и массой 10 кг может вращаться вокруг не­под­вижной оси, проходящий через верхний конец стержня. В середину стержня уда­ряет пуля массой 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью 500 м/c, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

 

160. На покоящийся шар массой М = 1 кг, подвешенный на длинном жестком стержне, попадает пуля m = 10 г. Угол между направлением полета пули и линией стер­жня a = 45° . Удар центральный. После удара пуля застревает в шаре и шар вместе с пулей, отклонившись, поднимается на высоту h= 0,12 м относительно первоначального положения. Найти скорость u пули. Массой стержня пренебречь.

 

161. Найти работу, совершаемую по подъему груза по наклонной плоскости, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона 30⁰, коэффициент трения 0,1 и груз движется с ускорением 1м/с².

 

162. К ободу диска массой 5 кг приложили постоянную касательную силу 2 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 с после начала движения?

 

163. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом
2 м, стоит человек. Масса платформы 200 кг, масса человека 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль её края со скоростью 2 м/с относительно платформы.

 

164. Платформа массой 240 кг, имеющая форму диска, может вращаться вокруг верти­каль­ной оси. На краю платформы стоит человек массой 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы с постоянной скоростью и, обойдя её, вер­нется в исходную точку (на поверхности земли)? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

 

165. Какую работу совершит человек, если он от края вращающейся платформы перейдет в её центр? Масса платформы 100 кг, масса человека 80 кг, первоначальная частота вращения 10 об/мин, радиус платформы 2 м.

 

166. Диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращался, делая 8 об/с. При торможении он остановился через 4 с. Определить тормозящий момент.

 

167. Маховик вращается с частотой n=10 об/с. Его кинетическая энергия W_К=7,85 кДж. За какое время t момент сил М=50 Н×м, приложенный к маховику, увеличит угловую скорость маховика вдвое?

168. Вентилятор вращается с частотой 900 об/мин. После выключения вен­ти­ля­тор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Работа сил тор­мо­­жения равна 44,4 Дж. Найти момент инерции вентилятора и момент сил тор­можения.

 

169. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением 0,5 рад/с² и через 15 с после начала движения приобретает момент импульса 73,5 (кг×м²)/с. Найти кинетическую энергию колеса через 20 с после начала движения.

 

170. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

 

171. Найти скорость электрона, релятивистский импульс которого равен 1,58×10^{-22 кг}×м/с.

 

172. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m₀ от 0,6 с до 0,8 с, где с – скорость света в вакууме?

 

173. Солнце ежеминутно испускает энергию, равную 6,5×10²¹ кВт×ч. Считая излучение Солнца постоянным, найти, за какое время масса Солнца уменьшится в
2 раза.

 

174. Частица движется со скоростью u=0,5×с, где с - скорость света в вакууме. Во сколько раз масса частицы больше ее массы покоя?

 

175. Кинетическая энергия протона 10 МэВ. Определить его импульс.

 

176. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %?

 

177. Мезон движется со скоростью 0,96×с, где с – скорость света в вакууме. Какой промежуток времени по часам наблюдателя соответствует одной секунде “собственного” времени мезона?

 

178. C какой скоростью движется частица, если ее масса в 4 раза больше массы покоя?

 

179. Определить скорость тела, при которой его масса возрастает в 2 раза.

 

180. Найти относительную скорость движения двух частиц, движущихся навстречу друг другу со скоростями u₁ = 0,6×c и u₂ = 0,9×c, где с – скорость света в вакууме.

II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом… Молекулярная физика изучает макроскопические процессы исходя из представлений… Термодинамика является аксиоматической наукой, она не вводит каких-либо конкретных представлений о строении вещества и…

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

  В состоянии термодинамического равновесия объем V, давление Р и температура Т… F (P,V,T) = 0.

На основании первого начала термодинамики

получаем теплоту, переданную газу: Q=3,68×106 Дж.   График процесса изображен на рисунке.

Так как точки В и С принадлежат адиабате ВС, то

Уравнение изотермы DС =1,44×1,05×105×8×10-3=1170 Дж. Отсюда Т2=330 К. Так как координаты точек Д и А должны удовлетворять уравнению адиабаты, то ,

Задачи для самостоятельного решения

1. Сосуд емкостью V=10-2 м3 разделен пополам полунепроницаемой пере­го­род­кой. В одну половину сосуда введено 2 г водорода и 4 г гелия. Через… Ответ: p=9,6×105 Па.  

Разделы содержания теоретического курса, представленные в пособии...…4

Требования к оформлению контрольных заданий

и разъяснения по использованию таблиц .........................................................6

Механика и элементы специальной теории относительности ………………7

Контрольное задание №1 ……………………………………………………..29

Основы молекулярной физики и термодинамики …………………………..37

Контрольное задание №2 ……………………………………………………..66

Библиографический список…………………………………………………...74