Это легко проверить эти голономный вектор отношения путем использованиясоответствующих координат Министерствообразования и науки Российской федерацииТомскийгосударственный университетФизическийфакультет Реферат Численная стабилизацияуравнений движениянебесных тел Проверил профессор Бордовицына Т.В. Выполнил аспирант Баньщикова М.А. Томск-2004Содержание 1. Введение 32. Численная стабилизация с применением всех законовсохранения в задаче многих тел 42.1 Асимптотическая стабилизация с использованием интеграла движения 42.2 Асимптотическая стабилизация с помощью энергетического соотношения 52.3 Асимптотическаястабилизация с помощью законов сохранения взадаче N-тел 3. Численнаястабилизация дифференциальных уравнений кеплеровского движения 7 3.1 Неустойчивость классических уравнений 3.2 Стабилизация кругового кеплеровского движения 3.3 Численный эксперимент 4. МетодНакози 4.1 Вводные замечания 4.2 Уравнения связей 4.3 Оценка метода 5. Обэффективности и точности метода Накози при интегрировании ограниченной задачи трехтел 5.1 Вводные замечания 5.2 Оценка метода при использовании различных интеграторов 16 5.2.1 Поправки по многообразию 2.2 Тестовые орбиты 5.3 Выводы 6. Литература 181. Введение В настоящем реферате дан обзор рядаработ иностранных авторов, посвященных развитию методов стабилизации уравненийдвижения динамических систем, в том числе и систем взаимно гравитирующихнебесных тел. Дело в том, что решения уравненийдвижения небесных тел неустойчивы по Ляпунову даже для задачи двух тел. Приприменении аналитических методов решения уравнений небесной механики это несущественно, а при численном подходе приводит к усилению так называемой ошибкиусечения метода на шаге и быстромунакоплению общей ошибки интегрирования.
Стабилизация уравнений движениясостоит в таком преобразовании уравнений, которое позволяет полностью иличастично устранить влияние ляпуновской неустойчивости решений на процесс ихчисленного построения.
В настоящем реферате мы рассматриваемработы, в которых даны два разных подхода к проблеме стабилизации решенийдинамических уравнений, это различные способы асимптотической стабилизации уравнений движения, предложенные Дж. Баумгартом 1,2 , и метод П. Е. Накози 3 , основанный на удержании решенияоколо некоторой интегральной поверхности.
Кроме того, мы рассмотрим краткоработу М.А. Марисона 4 , в которой приводятся результаты анализа точности иэффективности метода Накози при использовании его с различными интеграторами. 2. Численная стабилизация с применением всехзаконов сохранения взадаче многих тел. 2.1 .
Вэтом случае внешние силы зависят от потенциала U, который зависит тол... - если динамическая задача N-тел является слабовозмущенной, то вектор ... 3 Численная стабилизация дифференциальныхуравнений кеплеровского движе... Асимптотическая стабилизация с использованием интеграла движения. Эта силаравняется нулю в аналитическом вычислении, но не для компьютер...
Уравнение энергии 3.2 естьпервый интеграл уравнения 3.1 и h отрицатель... Их полярные углы соответственно 3.3 Ляпуновскаяустойчивость требует, ч... Далее обсуждаются особенностипоказателей степени вариационных уравнени... 3.2 . За опорноекруговое движение принимается r a с 3.4 Результирующеевариац...
Баумгарт такжепродолжил изучать эту задачу, но за новую независимую пе... 3.9 Уравнение 3.8 становится 3.10 или 3.11 Это дифференциальноеуравнен... Введение фиктивно времени s . ослабляет нестабильностьпосредством множителя Теорема 2 .Баумгартрассм... 3.18 Общеерешение стабилизирующей системы 3.18 есть 3.19 Следовательно...
Затем систему порядка 6n интегрировали и все илиразличные комбинации 1... Системуинтегрировали вперед и назад по времени. Это решение было получ... Точныекоординаты были определены для этого значения времени t путемреш... Метод Накози 4.1 Вводныезамечания П. Как показывают результаты, .
МетодНакози дает более эффективный численный процесс интегрирования, так какполучается наибольшая точность при использовании одинакового времени вычисленияи такая же точность при меньшем времени вычисления. Использование толькоинтеграла энергии дает более эффективное численное интегрирование, чеминтегрирование, использующее все 10 интегралов. Причина этого в следующем 1 Ошибка в энергии существенно больше, чем ошибки в интегралах углового момента ицентра масс. 2 Использование всех 10 интегралов требует обращения матрицыбольшой размерности, что неудобно и приводит к большим затратам времени.
Рассмотренный метод можно применять кчисленному решению любой системы дифференциальных уравнений, которая обладаетинтегралами. Интегральные соотношения можно также ввести искусственно, расширяяразмерность системы. 5. Об эффективности и точности метода Накози приинтегрировании ограниченной задачи трех тел 5.1Водные замечания В работе 4 автор предпринял попыткуприменить метод стабилизации П. Накози к ограниченной задаче трех тел всочетании с численным методом интегрирования Булирша-Штера. Уравнения движения частицы сбесконечно малой массой в ограниченной задаче трех тел в двумерном случае имеютвид 5.1 есть эффективныйпотенциал, и расстояния частицы отпланет и есть эксцентриситет орбиты планеты, истинная аномалияпланет, и отношение масс. Независимая переменная, и расстояния сведены к непостоянному простому разложениюна части.
Наиболее массивную планету обозначим через, и меньшую планету через. Истинную аномалию выберем как независимую переменную вместовремени, т.к. результирующее уравнение 5.1 регуляризированное.
В круговом случае, существует интеграл движения 5.2 Сущность этой частной динамическойзадачи требует высокой точности, особенно при длительном интегрировании, которое происходит при изучении спутниковой картины, предполагая, что будетпотребляться большое количество машинного времени.
Задача состоит в том, чтоочень маленькие ошибки могут сильно увеличиться в процессе вычислений и вскоререзультат станет бессмысленным. В этой статье рассматриваетсячисленные методы и необходимые условия. Первое, что рассматривается, эточастный метод которым интегрируют уравнения, показано, что он является оченьважным. Затем, пользуются константой Якоби, чтобы откорректировать численныеошибки усечения и округления в круговой ограниченной задаче.
Этот метод можноприменить к любой задаче, в которой существуют константы движения. Эффектыразличных методов и техники сравниваются, используя орбиты в круговой и эллиптическойограниченных задачах трех тел 5.2 Оценкаметода при использовании различных интеграторов 5.2.1
Поправки по многообразию. П. Накози 1971 открыл способиспользовать константы движения для проверки ... Накози использует множители Лагранжа, чтобы найтиметодом наименьших кв... Мюресон 1988 применил эту поправку многообразия к обоим нерегулязирова...
5.3 Выводы Приведенные в статьерезультаты показывают, что экстраполяци... Измерениенакопленной ошибки также полезно в характеризования точности ... Чтобы показать полезность этих методових проинтегрировали разными спос... Интегрирование продолжалось в течение 40 орбитальныхпериодов планеты. .
Литература 1. J. Baumgarte, Numericalstabilization of all laws of conservation in the many body problem. CelestialMechanics 8 1973 . P. 223-228.2. J. Baumgarte, Numericalstabilization of the differential equation of Keplerian motion.
CelestialMechanics 5 1972 . P. 490-501.3. P. E. Nacozy, The use of integralsin numerical integrations of the N-body problem. Astrophysics and Space Science14 1971 40-51.4. M. A. Murison, On an efficient andaccurate method to integrate restricted three-body orbits. Astron. J, 97 5 ,May 1989. P. 1496-1509.