Гравитационный потенциал

Закон всемирного тяготения для точечных масс:

 

Напряженность гравитационного поля или ускорение силы тяжести, создаваемое точечной массой , равно

.

Гравитационное поле является центральным. Для него справедлив принцип суперпозиции.

Как и для электростатического поля, для гравитационного поля легко доказывается интегральная теорема Гаусса

.

Отсюда немедленно следует, что если распределение масс центрально симметричного, то величина ускорения силы тяжести в данной точке определяется только массой шара, на поверхности которого находится эта точка. Применительно к бесконечной сферически однородной и изотропной Вселенной это приводит к так называемому гравитационному парадоксу: ускорение силы тяжести в данной точке зависит от выбора начала системы отсчета.

Первое дифференциальное уравнение для гравитационного поля получается из интегральной теоремы Гаусса-Остроградского

,

где – плотность, – объем внутри . Отсюда

.

Второе дифференциальное уравнение – это дифференциальное условие потенциальности гравитационного поля:

.

Непосредственным вычислением (проще всего в сферических координатах) можно показать, что ротация любого центрального поля равна нулю.

Поскольку по вычислению, то можно ввести гравитационный (ньютоновский) потенциал, такой, что

.

Для материальной точки массы M (а также для сферически симметричного тела)

.

Для объемного тела

.

Поскольку , то гравитационный потенциал в области, где , удовлетворяет уравнению Пуассона

,

а в области, где , уравнению Лапласа

.

Вне Земли и на ее поверхности гравитационный (ньтоновский) потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид:

.

Фундаментальным внешним решением этого уравнения является сферический гармонический ряд

 

где – сферические функции порядка степени ; – константы, определяемые из граничных условий; – присоединенные функции Лежандра.

 

Это система ортонормированных функций, т.е.

– нормировочный множитель.

На поверхности сферы сферические функции имеют знакочередующиеся минимумы и максимумы (см. рис.), области которых определяются пересечением широтных линий и меридиональных линий.

–

–

–

+

–

–

–

–

–

–

–

+

+

–

+

+

+

+

+

Функции с называются зональными гармониками ( примеры ), если , то это секториальные гармоники (пример ), и, наконец, если , то это тессеральные гармоники (пример ). На рисунках представлены полусферы.

Целесообразно в разложении потенциала выделить первый член ( ), вынести его за скобки и нормировать на экваториальный радиус Земли :

.

Введем также новые постоянные

.

В силу того, что для любых , то . Окончательно

.

Элементы гравитационного потенциала Земли вычисляют из анализа изменений элементов орбит искусственных спутников. Если бы спутники летали в поле силы тяжести материальной точки, то их движение было бы чисто кеплеровым (стационарная эллиптическая орбита). Однако элементы их орбит (эксцентриситет, наклонение, положение узлов и т.д.) изменяются с течением времени, и по этим изменениям можно вычислить коэффициенты и . Вот их значения (в единицах ):

и т.д.

Видно, что гравитационный потенциал Земли определяется в основном двумя членами: потенциалом материальной точки и зональной гармоникой 2-го порядка

,

которая обусловлена полюсным сжатием Земли.