Согласно 2-му закону Ньютона

(4.13)

где m —масса электрона. Отсюда кинетическая энергия электрона

(4.14)

и полная энергия электрона в кулоновском поле ядра

(4.15)

Согласно правилу квантования (4.12), , откуда

. (4.16)

После подстановки (4.16) в (4.13) получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:

(4.17)

Радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода (n=1, Z=1) равенсм. Его называют боровским радиусом.

Энергия Е_n, электрона на n-й стационарной орбите определяется формулой (4.15), в которой под r надо понимать (4.17). И мы приходим к следующему выражению для Е_n:

. (4.18)

Эта формула описывает уровни энергии стационарных состоя­ний электрона в водородоподобной системе. Для атома водорода схема энергетических уровней, соответствующих (4.18), по­казана на рис.4. 6. При n→∞ уровни энергии сгущаются к своему предельному значению Е_∞ = 0.

Состояние атома с наименьшей энергией (n = 1) называют основным. Для атома водорода основному состоянию соответст­вует энергия = -13,53 эВ. Эта энергия (по модулю) является энергией связи электрона в основном со­стоянии: (). Именно такую энергию надо сообщить электрону в основном состоянии (n = 1), чтобы удалить его из атома водорода. По этой причине ее на­зывают еще и энергией ионизации:

E_ион=E_св=13,6эВ.

Это значение, полученное из боровской теории атома, находится в хорошем со­гласии с результатами эксперимента.

Спектральные серии водородоподобных систем. Согласно второму постулату Бора (11), определяющему энергию фото­нов при переходе системы из одного стационарного состояния в другое, и формуле (4.18) имеем:

.

Частота фотона .

Таким образом, мы пришли к обобщенной формуле Бальмера , установив при этом, от каких величин зависит постоянная Ридберга: (4.19)

Подстановка в это выражение числовых значений т, е и ħ дает величину, хорошо согласующуюся с экспериментальным значе­нием постоянной Ридберга . Индекс ∞ при R означа­ет, что эта величина получена в предположении, что масса ядра весьма велика, и ядро при движении электрона неподвижно. Учет конечности массы ядра приводит к тому, что массу т электрона следует заменить на приведенную массу µ системы электрон- ядро: µ = тМ/(т + М), где М — масса ядра.