Теорема Пойнтинга. Энергия и поток энергии.

Исходя из представления о лока­лизации энергии в самом поле и руководствуясь принци­пом сохранения энергии, заключаем, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предпола­гается неподвижной). Следует признать, что существует не только плотность энергии w в данной области, но и некоторый вектор S, характеризующий плотность потока энергии.Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изме­няться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряжен­ным частицам), т. е. производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так:

Это ур–ие выражает теорему Пойнтинга: убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс работа в единицу времени (т. е. мощность Р), которую поле производит над зарядами вещества внутри данного объема. Здесь W = ∫ w dV, w — плотность энергии поля, j — плотность тока, Е — напряжен­ность электрического поля. Приведенное выражение для Р можно получить так. За время dt поле Е совершит над точечным зарядом q работу δA = qE • и dt, где u — ско­рость заряда. Отсюда мощность силы qE равна Р = quE. Переходя к распределению зарядов, заменим q на ρ dV, ρ— объемная плотность заряда. Тогда dP = ρuEdV = — jEdV. Остается проинтегрировать dP по интересую­щему нас объему.

Мощность Р может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отри­цательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электричес­кого поля Е действует и поле Е* сторонних сил. В этих точ­ках j = σ (Е + Е*), и если Е*↑↓Е и по модулю E*>Е, то jE в выражении для Р оказывается отрицательным. Выражение для плотности энергии w и вектора S, получается при помощи уравнений Максвелла. Если среда не содер­жит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромаг­нитного поля w=ED/2+BH/2. Плотность же потока энергии электромагнитного поля – вектор, называемый вектором Пойнтинга,— определяется как S=[EH].