Третье и четвертое уравнения Максвелла

 

Третье уравнение Максвелла является обобщением теоремы Гаусса для электростатического поля на случай любого нестационарного электрического поля:

, .

 

Четвертое уравнение основано на предположении о том, что теорема Гаусса справедлива для произвольного магнитного поля:

.

 

ЛЕКЦИЯ 18

5.5. Полная система уравнений Максвелла электромагнитного

поля

 

Основу теории Максвелла составляют четыре уравнения, которые в электродинамике играют такую же роль, как законы Ньютона в механике. Система этих уравнений описывает электромагнитное поле и может быть записана для векторов и ; и , и ; и . Для векторов и уравнения Максвелла имеют вид:

; ;; . (5.8)

Для векторов и : ; ; ; .

Если электрическое и магнитное поля стационарны, т.е. и , то из уравнений Максвелла следует, что эти поля существуют независимо друг от друга: ; - это уравнения электростатики; ; - уравнения магнитостатики.

Систему уравнений Максвелла (5.8) необходимо дополнить еще материальными уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды.

Если среда изотопная, несегнетоэлектрическая и неферромагнитная, и макротоки подчиняются закону Ома, то эти уравнения имеют вид:

; ; (5.9)

На границе раздела сред должны выполняться граничные условия для векторов, характеризующих электромагнитное поле:

; , ; , ( 5.10)

 

где – поверхностная плотность зарядов; – единичный вектор нормали к поверхности раздела сред, проведенный из среды 2 в среду 1; - единичный вектор касательной к поверхности раздела сред, - единичный вектор касательной к поверхности раздела сред и перпендикулярный к ; – вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости, он направлен вдоль поверхности по направлению тока в ней и численно равен , где - ток проводимости через малый участок dS сечения поверхности, проведенного перпендикулярно к направлению поверхностного тока.

Главный смысл уравнений (5.8) заключается в том, что они содержат уравнения движения электромагнитного поля. Это означает, что в каждом случае поля и могут быть найдены путем решения уравнений (5.8).

Каждое решение выделяется с помощью начальных и граничных условий (5.10). Начальные условия определяют поля в некоторый фиксированный момент времени, который обычно принимается за нулевой. Задания полей в один из моментов времени достаточно для определения постоянных интегрирования уравнений (5.8), по времени, т.к. в (5.8) входят только первые производные по времени. Граничные условия выражают свойства, связанные с наличием поверхностей раздела, т.е. таких поверхностей, по разные стороны которых свойства системы различны, а также с ограничениями области существования поля какими-либо поверхностями. Граничные условия задают поля в любой момент времени на поверхностях такого рода. Если область существования поля очень велика, то условия на удаленных внешних границах трансформируются в задание полей в бесконечно удаленных точках, т.е. на бесконечности.

Поскольку электромагнитные взаимодействия осуществляются через электромагнитные поля, то тем самым оказывается, что электрический заряд является константой связи электрически заряженных частиц с электромагнитным полем. Поэтому электромагнитные поля возникают вокруг зарядов и токов, от которых и распространяются в окружающее пространство; электромагнитные поля действуют на заряды и токи.

Состояние электромагнитного поля полностью характеризуется двумя векторными функциями координат и времени. Эти векторные функции и называются электрическим и магнитным полем. Множество значений, которые независимые компоненты векторов и (четыре из шести) принимают во всех точках пространства в данный момент времени, задают состояние электромагнитного поля в этот момент.

Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней свободы ( в области существования поля значения независимых компонент и составляют бесчисленное множество величин, т.к. любая область пространства содержит бесконечно большое число точек).

Электромагнитные поля подчинятся принципу суперпозиции: при одновременном действии нескольких источников электромагнитного поля ( имеется несколько заряженных электричеством тел в свободном, т.е. не содержащем вещества, пространстве) образуется поле, равное сумме полей, создаваемых каждым источником:

; .

Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Электрические заряды также не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Формула преобразований Лоренца для векторов и электромагнитного поля при переходе от неподвижной инерциальной системы отсчета К к системе , движущейся относительно К прямолинейно и равномерно со скоростью вдоль положительного направления ОХ, имеют вид:

; ; ;

 

; ; ;

 

с учетом (5.9) получаем для векторов и :

; ; ;

; ; .

Здесь - скорость света в вакууме. В среде .

Из преобразований Лоренца видно, что одно и то же электромагнитное поле по-разному проявляется в инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Например, если в системе отсчета К есть только электрическое поле,(- орт координатной оси) и , то в системе отсчета будет наблюдаться и электрическое и магнитное поле, векторы и взаимно перпендикулярны:

; ; ;

; ; .

 

Если же в есть магнитное поле, то в также будут наблюдаться оба поля, у которых :

; ; ;

; ; .

ЛЕКЦИЯ 19.

5.6.Уравнения Максвелла – Лоренца

Не все уравнения Максвелла есть уравнения движения поля. Действительно, только два из четырех уравнений (5.8) содержат производные по времени, т.е. определяют, как поле изменяется во времени. В третьем и четвертом уравнениях таких производных нет, т.е. эти уравнения являются только условиями, накладываемыми на и . Эти условия связывают компоненты полей при любых изменениях их во времени. А так как этих условиях два, то из шести компонент полей и только четыре независимы.

Поля и проявляются в действии на электрические заряды. Действие их на точечный заряд определяется силой Лоренца:

 

, (5.11)

где q – заряд частицы, – скорость ее движения.

Выражение для силы Лоренца является фундаментальным законом физики

электромагнитных явлений. Оно определяет действие электромагнитного поля на заряженные частицы.

Уравнения Максвелла (5.8) совместно с уравнениями движения для заряженных частиц под действием силы Лоренца (5.11) составляют фундаментальную систему уравнений Максвелла-Лоренца. Эта система уравнений в принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые закономерности (т.е. в классической электродинамике).

Для того, чтобы система уравнений Максвелла-Лоренца имела единственное решение, т.е. давала однозначное предсказание хода рассматриваемого электромагнитного процесса, необходимо задание начального состояния частиц и полей (т.е. координат и скоростей частиц, а также полей и при ), и граничных условий для полей и .

Конкретный вид начальных и граничных условий зависит от свойств уравнений Максвелла. Вот эти свойства:

1) Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей по времени и пространственным координатам и первые степени плотности заряда и тока. Свойство линейности прямо связано с принципом суперпозиции.

2) Уравнения Максвелла содержат закон сохранения электрического заряда. Действительно, продифференцируем третье уравнение (5.8) по времени, будем рассматривать процесс в вакууме (), имеем:

,

или

. (5.12)

Теперь возьмем дивергенцию от обеих частей второго уравнения (5.8)

здесь

Известно, что дивергенция от ротора равна нулю: , тогда . Домножим это выражение на , получаем: , или, учитывая (5.12) имеем:

- это и есть закон сохранения заряда. Если в него подставить значение из уравнения непрерывности ( ), то получим тождество:

.

3) Из уравнений Максвелла следует, что каждое электромагнитное поле должно иметь скалярный и векторный потенциал.