Основные положения

Электрический ток в полупроводниках, как впрочем, и в любых других материалах, определяется концентрацией и подвижностью свободных носителей заряда. Особенностью полупроводников является то, что их электропроводность в очень большой степени зависит от ничтожного количества примесей и от внешних энергетических воздействий.

В зависимости от степени чистоты различают собственные (можно пренебречь влиянием примесей при данной температуре) и примесные полупроводники.

Электропроводность полупроводников целесообразно рассматривать с привлечением зонной теории твердого тела. На рис. 2.1, а приведена энергетическая диаграмма собственного полупроводника. Распределение электронов по энергиям в твердом теле в общем случае подчиняется статистике Ферми–Дирака. Вероятность нахождения электрона на уровне с энергией W определяется функцией

 

где W – энергия уровня, вероятность заполнения которого рассматривается; W_F – энергия характеристического уровня, относительно которого кривая вероятности симметрична (уровень Ферми). При Т=0 К функция Ферми обладает следующими свойствами: при W ≤ W_F F(W) = 1, при W > W_F F(W) = 0 (рис. 2.1, б).

 

Любой энергетический уровень может быть занят электроном либо оставаться свободным (занятым дыркой). Сумма вероятностей этих двух событий равна единице

(2.2)

Вероятность заполнения энергетического уровня W электроном

(2.3)

Функция вероятности для дырок F_p аналогична функции вероятности для электронов, но для дырок энергия возрастает при перемещении вниз от уровня Ферми.

В полупроводниках электрический ток переносят электроны, находящиеся в свободной зоне (зоне проводимости) и в валентной зоне (заполненной зоне). Соответственно, удельная проводимость полупроводника будет задаваться соотношением

γ = е (n μ_n + p μ_p), (2.4)

где е – заряд электрона; n и p – концентрации квазисвободных электронов и дырок соответственно; μ_n и μ_p – подвижность электронов и дырок, соответственно.

Концентрация свободных носителей зависит от температуры и расположения разрешенных уровней на энергетической зонной диаграмме полупроводника. При температуре абсолютного нуля Т=0 К квазисвободные носители в полупроводнике отсутствуют n = p = 0, следовательно отсутствует и проводимость γ = 0.

При повышении температуры часть электронов, обмениваясь энергией с колебаниями атомов кристаллической решетки (фононами), переходит на более высокие уровни энергии и попадает в зону проводимости (рис. 2.1, а). В результате концентрация свободных носителей n и p возрастает при увеличении температуры.

В собственных полупроводниках концентрации свободных электронов и дырок равны: n_in = р_in (индекс in – от английского intrinsic (собственный). Вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости определяется шириной запрещенной зоны полупроводника ∆W и температурой. Концентрацию электронов (дырок) определяют интегрированием по энергии произведения функции распределения плотности энергетических уровней в зоне проводимости и вероятности заполнения этих уровней электронами. Получают выражение для собственной концентрации носителей заряда

; (2.5)

, (2.6)

где k – постоянная Больцмана; h – постоянная Планка; Т – абсолютная температура; m_n^* и m_p^* – эффективные массы электрона или дырки, соответственно.

Величина A ~ T^3/2 представляет собой слабую функцию от температуры по сравнению с экспоненциальным множителем exp ( - ∆W_in /2kT).

Анализ собственной электропроводности представляет теоретический интерес, поскольку дает представление о возможностях материала. Практический интерес представляют примесные полупроводники, эксплуатационные свойства которых определяются в основном примесями.

В примесных полупроводниках наряду с собственными носителями появляются дополнительные носители. Примеси создают дополнительные уровни в запрещенной зоне полупроводника.

а). б).

Концентрация примесей мала, расстояния между примесными атомами велико, их электронные оболочки не взаимодействуют друг с другом, соответственно примесные энергетические уровни являются дискретными, а не расщепляются в зону в отличие от уровней основных атомов (рис. 2.2).

При малой концентрации примесей вероятность непосредственного перехода электронов от одного примесного атома к другому ничтожна. Электроны переходят либо в зону проводимости с примесных донорных уровней (см. рис. 2.2, а) с образованием квазисвободных электронов (полупроводник n-типа), либо на примесные уровни акцепторов из валентной зоны (см. рис. 2.2, б) с образованием квазисвободных дырок в ней (полупроводник р-типа).

Концентрация примесных носителей задается соотношением

; (2.7)

, (2.8)

где ∆W_Д(А) – энергия ионизации доноров (акцепторов); N_Д(А) – концентрация примесей доноров (акцепторов) в полупроводнике; индекс «Д» или «А» соответствует примесным носителям.

Энергия возбуждения свободных носителей в примесном полупроводнике много меньше, чем в собственном

∆W_Д(А) << ∆W_in.

Это приводит к тому, что ощутимые концентрации свободных носителей заряда в примесных полупроводниках появляются при существенно более низких температурах.

В случае донорных примесей ток обусловлен перемещением преимущественно электронов, имеем полупроводник n-типа:

n = n_in + n_д ; р = р_in; n >> р. (2.9)

В полупроводнике с акцепторными примесями ток обусловлен перемещением преимущественно дырок, имеем полупроводник p-типа:

р = р_in + р_д ; n = n_in; р >> n. (2.10)

Зависимость концентрации носителей заряда от температуры. В общем случае на графике зависимости концентрации свободных носителей заряда от температуры для примесного полупроводника наблюдаются три участка (рис. 2.3, а).

В области низких температур ( Т < Т_s) ток обусловлен примесными носителями. График зависимости

(2.11)

представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона, пропорциональным ∆W_Д(А). С увеличением температуры число носителей, поставляемых примесями, возрастает. Это происходит до тех пор, пока не истощатся электронные ресурсы примесных атомов.

В области средних температур (Т_s < Т < Т_i ) все примеси уже ионизированы (истощены), а перехода электронов через запещенную зону еще не обнаруживается (собственных носителей еще мало). Участок кривой с постоянной концентрацией носителей заряда называется областью истощения примесей

. (2.12)

При высоких температурах (Т > Т_i) начинается быстрый рост концентрации носителей вследствие перехода электронов через запрещенную зону. Концентрация собственных носителей превышает концентрацию примесных, то есть полупроводник из примесного становится собственным, хотя примеси в нем имеются. Наклон данного участка характеризует ширину запрещенной зоны полупроводника

(2.13)

Температура насыщения примесей Т_s может быть определена из условия

(2.14)

как . (2.15)

Температура перехода к собственной проводимости определяется из условия: n_in = N_Д , тогда

. (16)

 

 

Зависимость подвижности носителей заряда от температуры. Кроме концентрации свободных носителей заряда на величину электропроводности оказывает влияние подвижность носителей, которая в общем виде может быть представлена соотношением:

μ ~ Т^χ . (2.17)

Подвижность носителей определяется в основном двумя конкурирующими процессами, зависящими от температуры прямо противоположным образом (рис. 3.1, б). Эти два механизма приводят к наличию двух участков в кривой температурной зависимости подвижности.

В первом случае рассеяние носителей заряда происходит на ионизированных примесях (при столкновением носителей с ионизированными атомами примесей). При низких температурах интенсивность тепловых колебаний решетки невелика и преобладающим оказывается данный механизм. Показатель χ = 3/2 (μ ~ Т^3/2).

Во втором случае рассеяние носителей заряда происходит при столкновении их с колеблющимися атомами кристаллической решетки полупроводника. Показатель χ = - 3/2 (μ ~ 1/Т^3/2). При рассеянии носителей на тепловых колебаниях решетки средняя длина свободного пробега l_ср одинакова для носителей с различными скоростями и обратно пропорциональна абсолютной температуре полупроводника.

Эти процессы протекают всегда одновременно, но при низких температурах преобладает рассеяние носителей на примесях, а при высоких – рассеяние на тепловых колебаниях решетки (фононах). Суммарная подвижность носителей тока определяется наиболее интенсивным процессом.

Зависимость удельной проводимости полупроводника от температуры. Поскольку зависимость подвижности носителей заряда от температуры носит степенной характер, а температурная зависимость концентрации носителей – экспоненциальная функция, то именно она, как более сильная, и будет в основном определять изменения удельной проводимости с температурой как при низких, так и при высоких температурах

; (2.18)

Данная зависимость, представленная в координатах ln γ = f (1/Т), приведена на рис. 2.3, в. Из участков примесной (Т < Т_s) и собственной (Т > Т_i) проводимости по тангенсу угла наклона прямых линий в координатах ln γ = f (1/Т) можно определить ширину запрещенных зон ∆W_Д(А) и ∆W_in соответственно. Для этого необходимо из графика определить tgα соответствующего участка

, (2.19)

который с другой стороны определяется выражением

. (2.20)

Таким образом, в общем случае температурная зависимость проводимости полупроводника имеет сложный характер (рис. 2.3, в). Для средних температур на участке истощения примесей в температурной зависимости проводимости будет проявляться зависимость подвижности носителей заряда от температуры и предэкспоненциальных множителей А или А₁.

При средних температурах по наклону прямой линии в координатах ln γ=f(lnT) можно определить показатель χ в зависимости μ~Т^χ и сделать вывод о доминирующем механизме рассеяния.

Удельная электропроводность полупроводника так же, как и металла, может быть измерена четырехзондовым методом и рассчитана по формуле:

, (2.21)

где S – площадь поперечного сечения кристалла полупроводника; l – расстояние между измерительными потенциальными зондами (2 и 3) (рис. 2.4); I – ток, протекающий между токовыми зондами (1 и 4); U– падение напряжения на длине l; U=1/2(|u₁|+| u₂|), а u₁ и u₂ – падения напряжения, измеренные при двух противоположных направлениях протекания тока I (для устранения нелинейности вольт-амперной характеристики контакта металл-полупроводник).

Подробно методика применения четырехзондового метода приведена в описании к работе 3.