Векторами и комплексными числами

Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, имеющие частоту ω, можно изображать векторами на плоскости декартовых координат, вращающимися с угловой скоростью, равной ω, причем длина вектора определяется в соответствующем масштабе амплитудой ЭДС, напряжения или тока.

Пусть мы имеем две синусоидальные ЭДС:

и .

Изобразим их в виде векторов в момент времени равный нулю (рис. 2.2). Начальные фазы этих синусоидальных ЭДС откладываются от горизонтальной оси против часовой стрелки, если они положительны, и по часовой стрелке, если они отрицательны. Длины векторов равны соответствующим амплитудным значениям.

Найдем ЭДС е, равную сумме ЭДС е₁ и е₂. Тогда эта ЭДС е будет изображаться вращающимся вектором, равным геометрической сумме векторов, изображающих ЭДС е₁ и е₂.

В любой момент времени взаимное расположение этих вращающихся векторов будет оставаться неизменным, поэтому достаточно построить векторы в момент времени равный нулю, и все операции выполнять над ними.

Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в той или иной цепи синусоидального тока, и построенных с соблюдением правильной ориентации их друг относительно друга для момента времени равного нулю, называют векторной диаграммой.

Так как обычно мы интересуемся действующими значениями синусоидальных функций, которые в раз меньше их амплитуд, то целесообразно на векторной диаграмме длину векторов выбирать равной, в избранном масштабе, действующим значениям ЭДС, напряжений или токов. На рис. 2.3 изображена векторная диаграмма напряжения u и тока i, причем ток отстает от напряжения на угол φ, который на векторной диаграмме всегда показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Синусоидальную функцию можно изобразить вектором (рис. 2.4) на комплексной плоскости или записать в виде комплексного числа в показательной форме:

, где – модуль комплексного числа, равный действующему значению синусоидальной функции, который на векторной диаграмме соответствует длине вектора в выбранном масштабе напряжений; ψ – аргумент комплексного числа, соответствующий начальной фазе синусоидальной функции, которая на комплексной плоскости откладывается от положительного направления оси действительных чисел;

j = – мнимая единица.

Комплексная величина в соответствии с формулой Эйлера может быть записана также в тригонометрической и алгебраической формах записи:

где - действительная часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа.

Для обратного перехода от алгебраической к показательной форме записи необходимо найти модуль этого комплексного числа с помощью теоремы Пифагора (рис. 2.4) и аргумент путем определения тангенса соответствующего угла:

, .

Схема с нулевым проводом. Провод 0'0, соединяющий нулевую точку трехфазного источника с нулевой точкой приемника (рис. 3.7), называется нулевым или нейтральным. Ток, протекающий по этому проводу, называется током нулевого провода и обозначается I₀.

Рис. 3.7

 

Наличие нулевого провода при неравномерной нагрузке фаз обеспечивает независимость режима работы одной фазы от другой, так как фазные напряжения приемников равны соответствующим фазным напряжениям генератора при любых нагрузках фаз.

Фазные токи определяются по закону Ома: .

Ток нейтрального провода для четырехпроводных цепей определяется согласно первому закону Кирхгофа как сумма фазных токов: