Властивості передавальної функції

Порівнюючи формули (2.76) і (2.43), можна переконатися, що функція є результат аналітичного продовження частотного коефіцієнта передачі із уявної вісі на всю площину комплексних частот Функція аналітична на всій площині , за винятком кінцевого числа точок які є коренями знаменника у формулі (2.76). Дані точки, тобто корені рівняння

,

називають полюсами передавальної функції .

Точки представляють собою корені рівняння, та мають назву нулів даної передавальної функції.

Виносячи загальний множник виникаючий при діленні в (2.76) чисельника на знаменник, одержуємо так зване нуль-полюсне представлення передавальної функції:

(2.77)

Дійсність коефіцієнтів диференціального рівняння (2.74) обумовлює наступну властивість нулів та полюсів: всі ці числа або дійсні, або утворюють комплексно-спряжені пари.

Часто використовують наочний прийом відображення передавальної функції за допомогою карти нулів та полюсів, на якій деякими умовними значками нанесені зазначені точки. Саму функцію , що приймає комплексні значення, не можна безпосередньо представити графічно. Тому підходять так: над площиною з декартовою системою координат зображують тривимірну поверхню функції (рис. 2.39).

Надалі прийнята така система позначень: - нуль, – полюс.

Поверхня має характерний вигляд «гірського ландшафту»; нескінченно високі вершини відповідають полюсам, а западини – нулям передавальної функції. Виконавши перетин цієї поверхні за допомогою площини, що містить як вертикальну вісь, так і вісь , одержимо профіль АЧХ системи.

Полюси передавальної функції лінійної системи є коренями характеристичного рівняння (2.38). Тому для стійкості системи необхідно та досить, щоб ці полюси розташовувалися строго в лівій півплощині комплексної змінної . Нулі передавальної функції в загальному випадку можуть розташовуватися як у лівій, так і у правій півплощинах.