ЛЕКЦІЯ №26 ОПЕРАТОРНИЙ метод аналізу проходження сигналів

 

ЛЕКЦІЯ №26

ЗАНЯТТЯ 4. ОПЕРАТОРНИЙ метод аналізу проходження сигналів   Навчальна література:

Вступ

 

Кажучи про спектральний метод аналізу проходження радіотехнічних сигналів через лінійні стаціонарні системи, звичайно мають на увазі цілий комплекс математичних прийомів, в основі яких лежить використання властивостей частотного коефіцієнта передачі системи. Нижче на конкретних прикладах показано застосування спектрального підходу як до завдання знаходження реакції системи, так і до проблеми числової оцінки вихідного сигналу.

До розглянутого спектрального методу тісно примикає широко розповсюджений операторний метод, що базується на поданні вхідних і вихідних сигналів їхніми перетвореннями Лапласа.

 

Розв’язок диференціальних рівнянь операторним методом

 

Перетворення Лапласа є винятково гнучким і потужним методом, що дозволяє шляхом стандартних процедур знаходити рішення лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Саме ця властивість обумовила його широке використання в наукових дослідженнях та інженерних розрахунках.

Нехай диференціальне рівняння

(2.73)

установлює закон відповідності між сигналами на вході та виході деякої лінійної стаціонарної системи. Накладемо деякі обмеження. Зробимо допущення, що вхідний сигнал при

Крім того, виходячи зі специфіки роботи радіотехнічних пристроїв, початкові умови виберемо нульовими: Математично нульові початкові умови означають, що до моменту виникнення вхідного сигналу система не містить запасеної енергії. Нарешті, приймемо, що область допустимих вхідних сигналів не містить у собі функцій, що настільки швидко наростають у часі, що для них не існує перетворення Лапласа.

Позначимо закон відповідності між оригіналами та зображеннями в такий спосіб: Обчисливши перетворення Лапласа від обох частин рівняння (2.73), одержимо

(2.74)

Передавальна функція системи.Найважливішою характеристикою, на якій заснований операторний метод, є відношення зображень вихідного та вхідного сигналів:

(2.75)

яке має назву передавальної функції або операторний коефіцієнт передачі розглянутої системи. Відповідно до формули (2.74)

(2.76)

Якщо ця функція відома, то пошук вихідної реакції системи на заданий вхідний вплив розбивається на три етапи:

У рамках операторного методу передавальна функція є повною математичною моделлю системи.

Термін «операторний метод» історично виходить з відомих робіт Хевісайда, який ще наприкінці минулого століття запропонував символічний спосіб рішення диференціальних рівнянь, що описують перехідні процеси в лінійних електричних колах. Метод Хевісайда заснований на символічній заміні оператора диференціювання комплексним числом Про зв'язок методу Хевісайда з теорією перетворення Лапласа.

Властивості передавальної функції

називають полюсами передавальної функції . Точки представляють собою корені рівняння, та мають назву нулів даної… Виносячи загальний множник виникаючий при діленні в (2.76) чисельника на знаменник, одержуємо так зване нуль-полюсне…

Формула обернення

Заключним етапом рішення задачі про проходження сигналу через лінійну стаціонарну систему за допомогою операторного методу є пошук оригіналу, якому… Розглянемо окремий випадок, коли функція являє собою відношення двох… причому будемо вважати, що ступінь чисельника не перевершує ступеня знаменника п і, крім того, корені знаменника –…

Виводи

1. Закон, що зв'язує вхідний і вихідний сигнали в системі, називається системним оператором.

2. Класифікація систем заснована на властивостях системних операторів. Розрізняють лінійні та нелінійні, стаціонарні та нестаціонарні, зосереджені та розподілені системи.

3. Реакція лінійної системи на дельта-імпульс називається імпульсною характеристикою.

4. Сигнал на виході є згортка вхідного сигналу й імпульсної характеристики.

5. Частотний коефіцієнт передачі та імпульсна характеристика зв'язані парою перетворень Фур'є.

6. Частотний коефіцієнт передачі лінійної стаціонарної системи, який описується звичайним диференціальним рівнянням, є дрібно-раціональна функція частоти.