Уравнения движения свободно плавающего континента

Уравнения движения свободно плавающего континента. На континент действует сила тяжести, приложенная к центру тяжести, и силы взаимодействия с вязкой мантией, приложенные к элементам поверхности погруженной части континента.

Под действием этих сил континент плавает в мантии, перемещаясь вдоль поверхности и вращаясь вокруг вертикальной оси. Так как давление и скорости мантийных течений меняются во времени и в пространстве, то в общем случае не равны нулю как вертикальная скорость центра тяжести континента w0, так и скорости вращения континента wx и wy вокруг мгновенных горизонтальных осей x и y. Континенты могут опускаться когда они находятся над нисходящими мантийными потоками вместе с поверхностью мантии и относительно ее и подниматься в местах восходящих потоков.

При этом величина опускания и подьема разных концов континента могут быть разными. В дальнейшем будем рассматривать только горизонтальные перемещения центра тяжести континента и вращение континента вокруг локальной вертикальной оси, пренебрегая всеми остальными малыми эффектами, полагая w00 и wxwy0. Поскольку сила тяжести уравновешана выталкивающея силой, то внешняя сила, действующая на континент сводится к силе вязкого сцепления с мантией, при этом давление p нужно считать отсчитанным от гидростатически равновесного распределения p0z. Таким образом, для горизонтального движения и вращения вокруг мгновенной вертикальной оси твердого континента произвольной формы уравнения Эйлера сводятся к системе трех динамических уравнений и трех кинематических соотношений Trubitsyn, 2000a, 2000b Trubitsyn and Rykov, 1998a, 1998b 6 7 8 9где M - масса континента, I33 - его момент инерции относительно вертикальной оси, xct и yct - координаты центра тяжести континента, j - угол поворота континента, di j - символ Кронеккера, равный 1 при ij и равный 0 при i j, eijk - символ Леви-Чивита, равный нулю при совпадении любых двух индексов, равный 1 при четной транспозиции индексов по сравнению с 1, 2, 3 и равный - 1 - при нечетной транспозиции.

Из соотношений размерности следует, что величина инерциальных членов в левой части уравнений Эйлера для движения континентов 6-8, как и для уравнения переноса импулься в вязкой жидкости 1, имеет порядок krm -23. Поэтому они могут быть положены равными нулю. После пренебрежения инерциальными членами уравнения Эйлера для движения континентов дают шесть соотношений для нахождения шести неизвестных координат центра тяжести континента xct, yct, угла его поворота j и скоростей континента u0t, v0t и w3t 10 11 12 13Уравнение для распределения температуры Tc внутри твердого континента в исходной неподвижной системе координат сводится к уравнению теплопроводности с адвективным переносом тепла со скоростью континента u 142.3. Граничные условия Уравнения мантийной конвекции 1-3 и уравнения для движения континента 6-8 и переноса тепла в нем 14 связаны между собой через граничные условия.

Как указывалось, для мантийных течений на нижней и боковых границах расчетной области принимается условие непротекания и проскальзывания равенство нулю нормальной составляющей скорости жидкости и равенства нулю тангенциальных составляющих вязких сил 15где nk - единичный вектор, нормальный к данной поверхности и ti - единичные вектора, касательные к ней. На границе твердых движущихся континентов принимается условие непротекания и прилипания, т.е. равенство скоростей жидкой мантии и скоростей континента 16на всей поверхности погруженной в мантию части континента.

Температура на нижней границе области фиксирована T 1. На боковых границах для конечной области принимается условие нулевого теплового потока 17где nk - единичный вектор, нормальный к боковой поверхности области.

На верхней свободной поверхности температура мантии равна нулю T 0 только в океанической области вне континента.

На поверхности погруженной в мантию части континента принимается условие непрерывности температуры и теплового потока между мантией и континентом 18На верхней поверхности континента температура полагается равной нулю 19Таким образом, математическая проблема сводится к следующему.

Имеется три неизвестные функции координат и времени для мантийной конвекции вектор скоростей мантийных течений Vix, y,z, t, распределение температуры Tx, y,z, t и распределение давления px, y,z, t, а также четыре неизвестные функции времени для движения континентов как целых две компоненты мгновенной скорости поступательного движения центра тяжести u0t и v0t, одна компонента мгновенной угловой скорости вращения континента вокруг центра тяжести wt и распределение температуры в континенте Tcx, y,z, t. Для их нахождения имеется система взаимосвязанных уравнений три дифференциальных уравнения конвекции 1-3, три интегральных соотношения 10-12, к которым свелись уравнения Эйлера и уравнение переноса тепла в континенте 14. Зная в данный момент положение и скорости континента u0t, v0t и wt, можно по 9 найти его положение в следующий момент времени.

Для определения постоянных интегрирования дифференциальных уравнений служат граничные условия 14-16. Отличие рассматриваемой задачи со свободно плавающим континентом от известной задачи с неподвижным континентом состоит в том, что граничные условия для скоростей течений и температуры на границе с континентом ставятся в месте нахождения в каждый данный момент плавающего континента.

При этом, скорость и положение континента заранее не известны, а определяются из решения всей системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений.

Если континентов несколько, то уравнения движения 10-13 и уравнение для температуры 14 выписываются для каждого континента.

Кроме того, при столкновении твердых контнентов ставится условие невозможности их проникновения друг в друга.

Для этого в моменты соприкосновения континентов в какой-либо точке к силам вязкого сцепления с мантией к каждому континенту добавляется сила расталкивания континентов, приложенная в месте их касания и направленная противоположно относительной скорости континентов. Величина этой силы находится перебором из условия соприкасания и непроникновения континентов друг в друга в данный момент. 3. Модель Мантия моделируется вязкой сферической оболочкой.

На нижней границе на границе ядро-мантия принимается условие проскальзывания и фиксируется значение температуры TT0. Континенты моделируются твердыми толстыми дисками, плавающими в мантии подобно кораблям. На погруженной в мантию поверхности континентов на подошве и на боковой поверхности принимается условие полного прилипания, т.е. равенство нормальных и тангенциальных составляющих скоростей мантии и континента в данном месте.

Также принимается равенство температуры и теплового потока в мантии в континенте в каждой точке соприкосновения. Толщиной части континентов, выступающей над мантией, пренебрегается. Температура во всех точках верхней поверхности континента полагается равной нулю. Также принимается равной нулю температура на верхней свободной от континентов части мантии. Вязкость мантии принята постоянной.

Фазовые переходы в мантии не учитывались. Число Рэлея, характеризующее интенсивность мантийной конвекции, взято равным Ra107. Температуропроводность континентов и мантии взята одинаковой -6 m2 s-1. Толщины всех континентов приняты равными 250 км. В качестве начального состояния континенты были, примерно, равномерно распределены по поверхности мантии. Центры континентов имели координаты по широте q 36o, 90o и 154o, а по долготе j 0o, 90o, 180o и 270o. Континенты взяты в виде восьмиугольников.

Но их форма неодинакова. Для простоты их размеры и форма были взяты из условия, что в начальный момент координаты их крайних угловых точек лежали ни линиях угловой координатной сетки по q и j с угловыми размерами по диаметру dq 36o и dj 40o, что соответствует диаметру порядка 4 тыс. км. Рис. 1aВ качестве начального распределения температур было взято трехмерное распределение температуры в современной мантии. Усредненное по латерали распределение температуры по глубине в современной мантии без континентов в первом приближении известно Solheim and Peltier, 1994 Tackley, 1996 Tackley et al 1994 Trubitsyn and Rykov, 2000. На рис. 1a приведены упрощенные распределения в мантии для адиабатической температуры розовый цвет, нададиабатической или потенциальной темпрературы, характеризующей интенсивность конвекции черный цвет и полной суммарной температуры красный цвет. Поскольку латеральные вариации температуры имеют порядок до 300 К, то они могут рассматриваться как поправки к радиальному распределению температуры.

Их можно найти из предположения, что латериальные вариации плотности в мантии пропорциональны вариациям скоростей сейсмических волн Anderson, 1989. Коэффициент пересчета dlnrdlnVs обычно находится из данных лабораторных измерений и теоретических расчетов для минералов. В работе Kaban and Schwintzer, 2000 это коэффициент был найден непосредственно из сопоставления данных сейсмической томографии и гравитационных аномалий.

Сначала по данным о гравитационном поле для океанической мантии было найдено распределение плотности r. Сравнение этого распределения с данными о скоростях поперечных сейсмических волн позволило определить коэффициент dlnrdlnVs для океанической мантии.

Этот коэффициент значительно меняется по глубине. Но поскольку при рассчете эволюции движения континентов вязкость берется постоянной, то для для простоты и для коэффициента dlnrdlnVs возьмем его приближенное среднее значение, примерно, 0,1. Вариации плотности в мантии могут зависеть как от температуры, так и от химико-минералогического состава.

Тепловая конвекция приводит к перемешиванию вещества с выравниванием состава, но создает латеральные вариации температуры. Полагая, что вариации плотности в основном обусловлены вариациями температуры rr01-aT и полагая коэффициент теплового расширения a равным -5, получим для коэффициента пересчета данных сейсмической томографии на температуру значение dlnVsdT- -4 K-1. Распределение поперечных скоростей сейсмических волн Vs было взято по модели Ekstrom and Dziewonski, 1998. Отметим, что предположение о химической однородности мантии не относится к континентальной литосфере. Поскольку она перемещается вместе с движущемся континентом и вещество в ней конвективно не перемешивается, то в течение миллиардов лет в ней должны были возникнуть значительные химические неоднородности.

Летучие элементы могли вынести железо и другие элементы и соединения из континентальной литосферы в кору. Согласно расчетам Forte and Perry, 2000 дефицит железа существенно облегчает аномально холодное вещество континентальной литосферы.

Изменения плотности литосферы за счет дефицита железа и за счет температуры сравнимы по величине. В то же время сейсмические скорости слабо меняются при изменении химического состава. 4. Результаты Начальное распределение температуры и координаты континентов были подставлены в уравнения конвекции с плавающими континентами 1-18. Результаты расчета эволюции системы мантия-континенты представлены в виде анимации совокупности кадров 0000-4290. Номера кадров для удобства соответствуют моментам времени в Ma, для которых возникает соответствующая структура конвекции и расположение континентов.

Рис. 1bДля удобства просмотра и копирования анимационных иллюстраций, имеющих обьем в несколько Мбайт, все иллюстрации разбиты на 5 групп. Группа 1 состоит из двух кадров 0000а и 0000б рис. 1a и 1b, показывающих начальные условия. httpeos.wdcb.rssi.rurjesv03rje01057rje01 057.htm - fig02hookГруппа 2 httpeos.wdcb.rssi.rurjesv03rje01057rje01 057.htm - fig02hookГруппа 3 httpeos.wdcb.rssi.rurjesv03rje01057rje01 057.htm - fig02hookГруппа 4 httpeos.wdcb.rssi.rurjesv03rje01057rje01 057.htm - fig02hookГруппа 5Группы 2, 3 и 4 включают соответственно 102, 55 и 60 кадров, показывающих всю рассчитанную историю движения континентов на развернутой сфере соответственно от t0 до 1000 Ma, от t2000 до 2500 Ma и от t2500 до 4300 Ma. Группа 5 включает иллюстрации для некоторых выборочных моментов времени.

На них более ясно видно расположение континентов на полусфере. Приведено распределение теплового потока, выходящего через континенты, представленные на просвет контурными линиями.

Также показано распределение температуры на глубине 300 км под континентами. Оно иллюстрирует тенденцию континентов постоянно затягиваться на холодные нисходящие мантийные потоки. На рис. 1а показано начальное радиальное распределение температуры усредненное по латерали, розовый цвет - адиабата, черный цвет - нададиабатическая температура, красный цвет - полная температура. На рис. 1б представлено выбранное начальное положение континентов и вычисленное распределение теплового потока, соответствующее начальному трехмерному распределению температуры.

Внешняя поверхность показана в виде развернутой сферической поверхности с центром q90o и j0o. Континенты показаны черным цветом. Тепловой поток, идущий из мантии, показан цветом в единицах mWm-2. Максимумы теплового потока красный цвет и повышенный тепловой поток розовый и желтый цвет соответствуют срединно-океаническим хребтам и вулканическим зонам.

Численное решение системы уравнений конвекции с плавающими континентами проводились итерационным конечно-разностным методом Trubitsyn and Rykov, 1998b, 2000 в сферических координатах. При этом континенты рассматривались в виде сферических шапок, плавающих на сфере. В качестве начального распределения температуры внутри рассматриваемых континентов-дисков можно взять любое распределение, поскольку оно в дальнейшем изменится согласно решению уравнений.

Для простоты это распределение бралось таким же, каким оно получается в мантии в месте, где находится континент по данным сейсмической томографии. Зная начальное распределение температуры и положение континентов при tt10, по уравнениям 2 и 14 находится распределение температуры в мантии и в континентах в следующий момент времени t2t1dt. Далее это новое распределение температуры подставляется в уравнение 1 и находятся скорости мантийных течений.

По этим скоростям находятся вязкие силы, действующие на континенты, и скорости движения континентов. Далее континенты поворачиваются и перемещаются на расстояние, соответствующее этим скоростям и интервалу времени dt. На кадре 0006 показано рассчитанное положение континентов, распределение теплового потока и скорости мантийных течений в момент времени t 6,6 Ma. Масштаб скоростей указан длиной стрелки, приведенной в левой части рисунка. Время указано в млн лет. На последующих кадрах 0013-4290 показана полная рассчитанная эволюция системы вязкая нагреваемая мантия - плавающие твердые континенты.

Как показывают расчеты, сначала континенты движутся в поле мантийных течений, соответствующих начальному распределению темпрературы, и уже к моменту времени t Ma кадр 0065 затягиваются на места нисходящих мантийных потоков. Следует отметить, что появляющаяся более мелкая структура мантийных потоков частично обусловлена в слишком грубых расчетных сетках R q j и R q j, для которых численное дифференцирование оказывается недостаточно точным.

Но результаты для обеих сеток качественно оказываются похожими. На более мелкой сетке распределение теплового потока становится несколько более гладким, скорости несколько меньшими. Уже через, примерно, 100 Ma группа рис. 2 проявляется тенденция континентов к обьединению в группы. Возможный механизм этого процесса состоит в том, что каждый нисходящий мантийный поток затягивает к себе соседние плавучие континенты подобно щепкам в водовороте.

Но каждый континент сидит на месте своего нисходящего мантийного потока и может двигаться преимущественно вместе с ним, так как при вязкости порядка 1022 P s силы вязкого сцепления континента и мантии очень велики. Поэтому сближаются не только континенты, но и нисходящие холодные мантийные потоки. В результате возникает группа нисходящих потоков, которая еще сильнее стягивает к себе соседние и даже далекие континенты.

К моменту времени t -300 Ma кадры 0253-0305 образуются две группы по три и пять континентов. В моменты времени t 351 Ma и t 409 Ma кадр 0351 и кадр 0409 континенты показаны контуром, на просвет. Поэтому видно, что континенты находятся на самых холодных местах мантии с минимальным тепловым потоком. К моменту времени t Ma кадр 0500 обе группы континентов обьединяются между собой фактически в единый вытянутый суперконтинент, в который вошли десять из всех двенадцати континентов.

В момент времени t 585 Ma кадр 585 образовавшийся континент более отчетливо виден на полусфере, центральная точка которой имеет координаты q120o и j20o. На кадре 585б приведены только контуры континентов, чтобы были видны минимумы теплового потока. На кадре 585с для этого же момента времени приведено распределение не теплового потока, а температуры в мантии на глубине 300 км, т.е. под континентами, толщина которых равна 250 км. Этот рисунок подтверждает, что плавающие континенты постоянно стремятся занять места, где находятся самые холодные нисходящие мантийные потоки.

В момент времени t Ma кадр 0689 суперконтинент начинает распадаться на две группы, каждая из которых состоит из пяти плотно соединенных континентов. Между этими группами континентов возникает полоса горячих восходящих мантийных потоков. Расстояние между этими группами за 130 Ma кадр 0721 увеличивается на 1 тыс. км. Как видно на кадре 0786, под каждой группой континентов находятся фактически соединенные нисходящие потоки.

Но уже с момента времени t Ma кадр 0916 под серединой верхней группы континентов возникает и затем постоянно усиливается кадры 0916-1014 горячий восходящий мантийны поток. К моменту времени t Ma кадр 1209 его размеры в поперечнике достигают тыс. км. К моменту времени t Ma кадр 1404 верхняя группа континентов оказывается разорванной на две правую и левую части, состоящие соответственно из трех и двух континенитов. В течение времени, начиная с t Ma и до t Ma кадры 1631-2100 континенты оказываются достаточно рассеянными по сфере, оставаясь соединенными в группы по два, три, четыре континента.

Затем начинается процесc нового обьединения континентов. К моменту времени, примерно, t Ma кадр 2405 в нижней правой части образуется суперконтиент из семи континенитов. Но опять, примерно под его серединой, в момент времени t Ma кадр 2632 возникает горячий восходящий мантийный поток, который в момент времени t Ma кадр 2730 отщепляет два верхних континента.

К моменту времени, примерно t Ma кадр 3022, образуются две близко расположенные группы континентов вблизи южного полюса. В моменты времени, примерно t Ma и t Ma кадры 3388a и 3445a, на полусфере на южном полюсе четко виден новый суперконтинент, обьединяющий десять из всех двенадцати континентов. На кадре 3388b видно, что на северном полюсе нет континентов. При контурном изображении континентов опять и на фоне теплового потока и на фоне температурного поля четко видно кадр 3388c, что континенты занимают самые холодные места мантии. Аналогичная картина видна также на кадрах 4290а-4290с. Это обьясняет, почему, несмотря на теплоэкранирующий эффект континенитов, мантия на глубиных 200-300 км под современными континентами на 200o холоднее, чем под океанами, т.е. почему континентальная литосфера толстая, высоковязкая и прочная. 5.