Численная модель эволюции плавающих на сферической мантии и взаимодействующих континентов

Численная модель эволюции плавающих на сферической мантии и взаимодействующих континентов Содержание Аннотация 1. Введение 2. Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами 1. Уравнения мантийной конвекции 2. Уравнения движения свободно плавающего континента 3. Граничные условия 3. Модель 4. Результаты 5. Заключение Литература Аннотация С развитием методов численного моделирования глобальных геодинамических процессов появилась возможность исследовать механизм дрейфа континентов с периодическим объединением их в суперконтиненты типа Пангеи.

В предыдущих работах авторов разработан метод численного решения системы уравнений переноса массы, тепла и количества движения для конвекции в вязкой мантии и уравнений Эйлера для движения твердых континентов. Уравнения конвекции и уравнения Эйлера взаимосвязаны условиями прилипания, непротекания и непрерывности температуры и теплового потока на погруженной в мантию поверхности континента.

В этих работах показана как возможность континентов объединяться в суперконтиненты, так и возможность распада суперконтинентов. В настоящей работе на идеализированной сферической модели приведены результаты численного эксперимента для длительной эволюции 12 плавающих континентов. Мантия моделировалась вязкой сферической оболочкой с постоянной вязкостью, нагреваемой снизу при числе Рэлея Ra107. Континенты взяты в виде твердых толстых дисков с угловыми размерами градусов. В качестве начального состояния взята современная мантия с распределением температуры, полученным пересчетом данных сейсмической томографии.

В этом состоянии распределение поверхностного теплового потока и скоростей мантийных течений согласуется с имеющимися данными наблюдений. Континенты в начальном состоянии взяты равномерно распределенными по поверхности мантии. Вязкое сцепление с мантийными течениями приводит к дрейфу континентов.

Рассчитана длительная эволюция системы мантия-континенты в течение нескольких миллиардов лет. Численный эксперимент для рассмотренной идеализированной модели показывает, что на протяжении всей этой истории континенты большую часть времени находятся на местах нисходящих мантийных потоков и перемещаются вместе с ними. При случайном сближении двух мантийных потоков возникает зона, затягивающая к себе соседние континенты вместе с нижележащими мантийными потоками.

В результате начинается процесс объединения нисходящих мантийных потоков и, следовательно, объединения континентов. В проведенном численном эксперименте континенты сначала объединяются в группы по 4-5 континентов и затем в большой суперконтинент. Благодаря перегреву мантии под суперконтинентом в мантии возникают новые восходящие конвективные потоки. В результате большой суперконтинент разбивается сначала на два суперконтинента. Затем распадаются и эти более мелкие суперконтиненты, сначала один из них подобно Лавразии распадается на отдельные 5 континентов, затем распадается и второй подобно Гондване.

После этого континенты оказываются разбросанными по поверхности мантии. В дальнейшем сближения и расхождения континентов повторяются. 1.

Введение

Введение Движущей силой глобальных геодинамических процессов в Земле является тепловая конвекция. При тепловой конвекции снизу поднимется горячее и, благодаря тепловому расширению, легкое вещество. Вещество, отдавшее тепло внешнему пространству, становится тяжелым и погружается обратно в мантию.

В результате возникает циркуляция вещества и в месте восходящих мантийных потоков появляются максимумы теплового потока. Величина этого теплового потока пропорциональна скорости конвекции. Наблюдаемое распределение теплового потока Земли и изменение толщины океанической литосферы соответствуют закономерностям тепловой конвекции. Тепловая конвекция возникает, если температура нарастает вниз с градиентом, большим адиабатического.

Для Земли адиабатический градиент в среднем равен, примерно, 0,4 Ккм, что дает полный перепад в мантии порядка 1200 К Trubitsyn, 2000a. По мере подъема вследствие уменьшения давления вещество расширяется и охлаждается. Если реальная температура в Земле была бы меньше адиабатической, то поднимающееся вещество уже по дороге стало бы холоднее и тяжелее окружающей среды и не смогло бы продолжать подниматься. Температуру, которую будет иметь вещество, поднявшееся на поверхность называют потенциальной.

Она равна разности реальной температуры вещества в рассматриваемом месте и адиабатической температуры и поэтому вызывает тепловую конвекцию в невязкой мантии. Для возникновения тепловой конвекции в вязкой мантии, кроме этого нададиабатического превышения температуры, необходимо еще дополнительное повышение температуры вещества, чтобы сила его плавучести преодолела вязкие силы торможения. Интенсивность конвекции, характеризуемая безразмерным числом Рэлея, пропорциональна этому нададиабатическому превышению температуры.

В мантии Земли имеет место интенсивная тепловая конвекция с числом Рэлея порядка 107 при полном нададиабатическим перепаде температуры около 2500 К. Критическое число Рэлея, при котором в декартовой модели со скользкими границами тепловая конвекция только появляется, равно 657. Интенсивность мантийной конвекции при нададиабатическом перепаде температур в мантии всего 0,25 К соответствует числу Рэлея 103. Во многокомпонентном веществе наряду с тепловой конвекцией может иметь место и композиционная конвекция.

Процесс химической дифференциации определял структуру конвекции в ранний период истории Земли, когда происходил рост железного ядра. Оседающее железо увлекало силикаты, и, кроме тепловой, имела место и композиционная конвекция. Гравитационная энергия переходила в тепло, которое до сих пор продолжает излучаться, давая вклад до 30 в современный тепловой поток Земли. По геохимическим данным рост ядра в основном завершился в первые 60-100 млн лет после образования Земли McCulloch and Bennett, 1998. По сложившимся представлениям вклад химической дифференциации в движущие силы современной глобальной геодинамики значительно меньше тепловой конвекции.

Но без химической дифференциации и минералогических превращений невозможно объяснить не только происхождение земной коры, но и аномальную легкость и прочность континентальной литосферы. Кроме того, изучение глобального перераспределения изотопов дает сведения о их переносе мантийными течениями и об эволюции структуры глобальной конвекции. Поскольку плавучесть континентов обусловлена их отличным от мантии минералогическим и химическим составом, то мантийную конвекцию с плавающими континентами можно рассматривать как особый вид термо-композиционной конвекции.

Тепловая конвекция в мантии имеет пять основных свойств, которые и определяют современную геодинамику Земли 1 Несмотря на относительную небольшую скорость мантийных течений 1-10 смгод, конвекция в мантии является нестационарной и квазитурбулентной. Вклад конвективного переноса тепла характеризуется числом Нуссельта Nu. Уже при Nu 10 что соответствует Ra 10 5 нелинейное взаимодействие процессов переноса тепла и массы характеризуемое членом V T оказывается большим.

Поэтому в мантии, наряду с регулярной циркуляцией вещества, возникают узкие струи, плюмы, диапиры и всплывающие термики. 2 Эндотермический фазовый переход оливин-перовскит на глубине 660 км приводит к частичной расслоенности мантии.

В то время как, благодаря переходу части несовместимых элементов в кору, верхняя мантия стала деплетированной, часть вещества нижней мантии имеет состав, близкий к первичному. При этом возникают особые плюмы, проникающие из нижней мантии в верхнюю через границу фазового перехода, проявляющиеся на земной поверхности в виде горячих точек. В прошлом в более горячей мантии эффект фазовой границы был сильнее и перемешивание вещества верхней и нижней мантии происходило эпизодически, но достаточно интенсивно.

При этом на дно нижней мантии затягивались большие обьемы океанической коры и частично континентальной коры. По мере остывания мантии барьер на фазовой границе ослабевает и плюмы горячих точек могли переходить в регулярные восходящие струи общемантийной конвекции. 3 Вязкость вещества сильно падает с ростом температуры и увеличивается с ростом давления. В условиях мантии она меняется более, чем на 20 порядков, от 103 Пас для базальтовых расплавов магматических камер до 1026 Пас для холодной литосферы.

Так как при конвекции средняя температура резко нарастает в верхнем и нижнем кондуктивных погранслоях, то на глубинах 100-200 км и на подошве мантии возникают маловязкие астеносферные слои. Толщина этих слоев не постоянна, так как тепловая конвекция создает горизонтальные вариации температуры в мантии до 300 К. 4 Средняя температура литосферы намного ниже температуры плавления.

Поэтому вещество литосферы более хрупко, чем остальной мантии. При резко меняющемся напряжении литосфера раскалывается на плиты, которые конвейером движутся вдоль земной поверхности. Жесткие плиты способны надвигаться и пододвигаться друг под друга только под небольшим углом. Океаническая литосфера способна сильно деформироваться и погружаться в зонах субдукции, потому что при длительных изгибных напряжениях вещество литосферы приобретает свойства пластичности. 5 Почти треть поверхности Земли покрыта континентами, которые тормозят выход тепла из мантии.

При среднем мантийном тепловом потоке Земли без радиоактивного тепла континентальной коры 70 мВтм2, через океаны выходит поток 90 мВтм2, а через континенты почти в три раза меньше 30 мВтм2. Поскольку континенты перераспределяют тепловой поток, выходящий из мантии, то они должны оказывать большое влияние и на всю структуру мантийной конвекции. Только с учетом механического и теплового взаимодействия мантии с континентами можно объяснить такие процессы как образование континентальной литосферы, состояние мантии под континентами, образование и распад суперконтинентов и др. Первые три свойства мантийной конвекции и их проявления в глобальной геодинамике изучаются специалистами по наукам о Земле уже в течение нескольких десятилетий. Результатом этого, в частности, явилось создание кинематической теории тектоники литосферных плит и теории мантийной конвекции с фазовыми переходами.

В настоящее время изучены модели как расслоенной конвекции Добрецов, Кирдяшкин, 1994 Allegre, 1982 Allegre et al 1983 Anderson, 1981, 1982 DePaolo, 1980, 1981 DePaolo and Wasserburg, 1976, 1979 Jacobsen and Wasserburg, 1979, 1981 Jeanloz and Knittle, 1989 ONions and Oxburg, 1983 ONions et al 1979, так и общемантийной конвекции Davies, 1974, 1979, 1984 Grand, 1987, 1994 Grand et al 1997 Hoffmann and White, 1982 Jackson, 1998 Jordan, 1977 van der Hilst, 1995 van der Hilst et al 1991, 1997. Построены детальные численные модели современной Земли Becker et al 1999 Brunet and Machtel, 1998 Bunge et al 1997 Kellogg et al 1999 Machetel and Weber, 1991 Solheim and Peltier, 1994 Steinbach et al 1993 Tackley, 1996 Tackley et al 1994. Предложены различные гипотетические геохимичесие модели Tackley, 2000 для обьяснения природы наблюдаемых различных геохимических резервуаров.

В последнее время успешно ведется построение полной теории океанической литосферы, в основном работами Тэкли Tackley, 2000, Гурниса с соавторами Zhong et al 1998. В этой теории реологические свойства вещества литосферы включаются в уравнения мантийной конвекции.

Поэтому не только изгиб и погружение океанической литосферы, но ее раскол на жесткие плиты не задается заранее, а получается самосогласованно как результат решения уравнений.

Изучение мантийной конвекции с учетом континентов сначала проводилось для неподвижных континентов Lowman and Jarvis, 1995, 1996 Nakanuki et al 1997 Trubitsyn and Bobrov, 1994 Trubitsyn and Fradkov, 1985. Однако, как оказалось, основные принципиальные явления глобальной тектоники обусловлены именно движением континентов, нелинейно взаимодействующих с мантийными течениями.

При моделировании процессов взаимодействия мантийной конвекции с движущимися континентами имеются два подхода. В работах Gurnis, 1988 Gurnis and Zhong, 1991 рассчитывались двумерные модели, в которых континенты рассматривались как высоковязкие образования в мантии, движение которых ведется фактически с помощью маркеров, без использования явных уравнений для движения континентов.

Можно сказать, что этот подход рассматривает мантийную конвекцию с плавающими континентами непосредственно как термо-композиционную конвекцию. В работах Trubitsyn and Rykov, 1995, 1998a, 1998b, 2000a Trubitsyn et al 1999 предложен иной подход и были разработаны основы теории мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами. Уравнения мантийной конвекции были дополнены уравнениями Эйлера для поступательного движения и вращения твердых континентов, взаимодействующих с мантией и друг с другом.

Теория мантийной конвекции с плавающими континентами Trubitsyn, 2000b рассматривает модель твердых плавающих континентов как первое приближение. В этой модели находится положение, скорости, распределение температуры внутри континентов и все силы, действующие со стороны мантии на их погруженные в мантию поверхность, а также силы столкновения континентов. Поскольку величины деформации континентов много меньше их перемещения при движении, то эти деформации и напряжения уже внутри континентов можно рассчитывать уже в следующем приближении по любой другой реологической модели, но с уже известными внешними силами.

Теория мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами основана на численных экспериментах, т.е. на численном решении системы уравнений переноса энергии, массы, импульса и момента импульса для системы мантия-континенты. В предыдущих работах авторов показано, что континенты не являются пассивными образованиями, но могут существенно влиять на эволюцию мантийной конвекции.

Их можно рассматривать вмороженными в океаническую литосферу только на небольших интервалах геологического времени. Континентальная литосфера возникает и существует в течение миллиардов лет только потому, что плавучие континенты постоянно затягиваются на холодные нисходящие мантийные потоки. Поэтому континенальная литосфера все время оствается холодной, высоковязкой и прочной. Под неподвижным континентом благодаря эффекту теплоэкранирования мантия со временем в течениее порядка 200-500 млн лет неизбежно прогревается и возникают горячие восходящие потоки, стремящиеся расплавить и раздробить континентальную литосферу и кору. В настоящей работе приводятся результаты длительного численного эксперимента для идеализированной модели с 12 континентами, плавающими на сферической мантии, с учетом их механического и теплового взаимодействия с мантией и между собой.

Целью работы была проверка того, могут ли плавающие на сферической мантии континенты многократно объединяться и расходиться без привлечения каких-либо дополнительных усложняющих процессов. 2.

Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами

2.2. Эти неизвестные функции находятся из решения системы трех уравнений ур... Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами. Уравнения мантийной конвекции Тепловая конвекция в вязкой мантии описы... .

Уравнения движения свободно плавающего континента

Так как давление и скорости мантийных течений меняются во времени и в ... Группа 5 включает иллюстрации для некоторых выборочных моментов времен... На последующих кадрах 0013-4290 показана полная рассчитанная эволюция ... Возможный механизм этого процесса состоит в том, что каждый нисходящий... 5.

Заключение Целью работы была первая попытка расчета длительной эволюции системы мантия-плавающие континенты на трехмерной сферической модели, выяснение механизма дрейфа континентов и проверка возможности обьединения и расхождения континентов.

Расчет длительной эволюции для трехмерной модели требует очень большого машинного времени и большого быстродействия компьютера.

Поскольку авторы имеют возможность проводить расчеты только на пресональных компьютерах, то была взята предельно упрощенная модель и расчеты велись на грубых расчетных сетках R q j и даже R q j. Поэтому полученные результаты имеют более качественный характер. Кроме того, размерные значения скоростей и времен зависят от выбранного значения температуропроводности.

Двукратное уменьшение коэффициента диффузии в два раза увеличит временные интервалы. Модель с переменными параметрами и более мелкой расчетной сеткой может несколько изменить значения теплового потока. Но как показывают расчеты для декартовых двумерных моделей, принципиальные этапы эволюции системы мантия-континенты оказывается одинаковым при изменении шага сетки даже в десятки и более раз. Расчеты показали, что в принципе континенты дрейфуют не хаотически и не пассивно.

Их движение подчиняется уравнениям переноса массы, тепла, импульса и момента импульса в системе мантия-континенты. При этом структура мантийных течений сильно зависит от наличия и движения континентов. Поскольку нисходящие мантийные течения затягивают к себе плавающие на поверхности континенты, то они большую часть времени находятся на местах этих холодных мантийных потоках и перемещаются вместе с ними. Поскольку каждый нисходящий мантийный поток притягивает к себе все соседние континенты, то имеется тенденция континентов к обьединению.

Этот процесс усиливается благодаря тому, что при обьединении континентов обьединяются и сцепленные с ними вязкими силами нисходящие мантийные потоки. В результате возникает обьединенная система нисходящих потоков, способная притянуть к себе даже далекие континенты. Благодаря теплоэкранированию континентов мантия под суперконтинентом накапливается тепло. Вещество мантии становится легче, холодные нисходящие мантийные потоки ослабевают и под суперконтинентом, вместо нисходящих, возникают горячие восходящие мантийные потоки.

Поскольку тепло легче накапливается под серединой суперконтинента, то он чаще должен раскалываться именно посредине. Очевидно, что может быть много и других процессов, оказывающих влияние на формирование и распад суперконтинентов. Поскольку континенты тормозят выход тепла из мантии, то они частично уменьшают интенсивность конвекции и делают ее менее хаотичной.

При взаимодействии мантийной конвекции и континентов конвекция вносит элементы хаоса, а континенты вносят элементы регулирования. Литература Добрецов Н. Л Кирдяшкин А. Г Глубинная геодинамика, 299 c НИЦ ОИГГМ СО РАН, Новосибирск, 1994. Трубицын В. П Фазовые переходы, сжимаемость, тепловое расширение, теплоемкость и адиабатическая температура в мантии, Физика Земли, 2, 3-16, 2000а. Трубицын В. П Основы тектоники плавающих континентов, Физика Земли, 9, 3-40, 2000б. Трубицын В. П Бобров А. М Физика Земли, 9, 27-37, 1993. Трубицын В. П Фрадков А. С Конвекция под континентами и океанами, Физика Земли, 7, 3-14, 1985. Allegre C. J Chemical geodynamics, Tectonophysics, 82, 109-132, 1982, Allegre C. J Hart S. R. and Minster J. F Chemical structure and the evolution of the mantle and continents determinated by inversion of Nd and Sr isotopic data, Eath Planet.

Sci. Lett 66, 177-213, 1993. Anderson D. L Theory of the Earth, Blackwell Scientific Publications, p. 366, Boston, Oxford, London, Edonburg, Melborne, 1989. Anderson D. L Hotspots, basalts and the evolution of the Earth, Science, 213, 82-89, 1981. Anderson D. L Isotopic evolution of the mantle, Earth Planet.

Sci. Lett 57, 13-24, 1982. Becker T. W Kellogg J. B. and OConnell R. J Earth. Planet. Sci Lett 151, 351, 1999. Brunet D. and Ph. Machtel, Large-scale tectonic features induced by mantle avalanches with phase, temperature, and pressure lateral variations of viscosity, J. Geophys.

Res 103, 4920-4945, 1998. Bunge H. P Richards M. A. and Baumgardner J. R A sensitivity study of the three-dimansional spherical mantle convection at 10 8 Rayleigh number Effects of depth-depwendent viscosity, heating mode, and endothermic phase change, J. Geophys. Res 102, 11,991-12,007, 1997. Davies G. F Whole mantle convection and plate tectonics, Geophys. J. Roy. Astron. Soc 49, 459-486, 1974. Davies G. F Earths neodymium budget and structure and evolution of the mantle, Nature, 290, 208-213, 1979. Davies G. F Geophysical and isotopic cobstraints on mantle convection an interim eynthesis, J. Geophys.

Res 89, 6017-6040, 1984. Davies G. F. and Richards M. A J. Geol 100, 151, 1992. Davies G. F Punctuated of plates and plumes through the mantle transition zone, Earth Planet. Sci. Lett 136, 363-379, 1995. DePaolo D. J. and Wasserburg G. J Nd isotopic variations and petrogenic models, Geophys. Res. Lett 3, 249-252, 1976. DePaolo D. J. and Wasserburg G. J Petrogenic mixing models and Nd-Sr isotopic patters, Geochemica et Cosmochemica Acta, 43, 615-627, 1979. DePaolo D. J Crustal growth and mantle evolution, Geochemica et Cosmochemica Acta, 44, 1185-1196, 1980. DePaolo D. J Nd isotopic studies Some new perspectives on Earth structure and evolution, EOS, 52, 137-140, 1981. Ekstrom G. and Dziewonski A. M The unique anisotropy of the Pacific upper mantle, Nature, 394, 168-172, 1998. Forte, A. M and H. K. C. Perry, Geodynamic evidence for a chemically depleted continental tectonosphere, Nature, 290, 1940-1944, 2000. Grand S. P Tomographic inversion for shear velocity beneath the north American plate, J. Geophys.

Res 92, 14,065-14,090, 1987. Grand S. P Mantle shear structure beneath the Americas and surrounding oceans, J. Geophys.

Res 99, 11,591-11,621, 1994. Grand S. P van der Hilst R. D. and Widiyantoro S Global seismic tomography a snaapshot of convection in the Earth, GSA Today, 7, 1-4, 1997. Gurnis M Large-scale mantle convection and aggregation and dispersal of supercontinents, Nature, 332, 696-699, 1988. Gurnis M. and Zhong S Generation of long wavelengh heterogeneitiey in the mantle dynamics interaction between plates and convection, Geophys.

Res. Lett 18, 581-584, 1991. Hoffmann A. W. and White W. M Mantle plumes from ancient crust, Earth Planet. Sci. Lett 57, 421-436, 1982. Jackson I Elastisity, composition and temperature of the Earths lower mantle, Geophys. J. Intern 134, 291-311, 1998. Jacobsen S. V. and Wasserburg G. J The mean age of mantle and crustal reservoirs, J. Geophys.

Res 84, 7411-7427, 1979. Jacobsen S. V. and Wasserburg G. J Transport models for crust and mantle evolution, Tectonophysics, 75, 163-179, 1981. Jeanloz R. and Knittle E Density and composition of the lower mantle, Phil. Trans. Roy. Astr. Soc. L. A328, 337-389, 1989. Jordan T. H Lithospheric slab penetration into the lower mantle beneath the Sea of Okhotsk, J. of Geophysics, 43, 473-496, 1977. Kaban M. K. ans Schwintzer P Seismic tomography and implications for models of the Earths mantle, Geoforschung Zentrum Potsdam, Scientific Technical Report STR0001, 2000. Kellogg L. H Hager B. H. and van der Hilst R. D Science, 263, 1881, 1999. Lowman J. P. and Jarvis J. T Mantle convection models of continental collision and breakup incorporating finite thickness plates, Phys. Earth Planet.

Inter 88, 53-68, 1995. Lowman J. P. and Jarvis J. T Continental collisions in wide aspect ratio and high Rayleigh number two-dimensional mantle convection models, J. Geophys.

Res 101, 25,485-25,497, 1996. Machetel P. and Weber P Intermittent layered convection in a model mantle with an endothermic phase change at 670 km, Nature, 350, 55-57, 1991. McCulloch, M. T and V. C. Bennett, Early differentiation of the Earth an isotopic perspective, Earths mantle, I. Jackson, Ed Cambridge Univ. Press, 1998. ONions R. K Evensen N. M. and Hamilton P. J Geochemical modeling of mantle differentiation and crustal growth, J. Geophys.

Res 84, 6091-6101, 1979. ONions R. K. and Oxburg E. R Heat and helium in the Earth, Nature, 306, 429-431, 1983. Nakanuki T Yuen D. A. and Honda S The interaction of plumes with transitions zone under continents and oceans, Earth and Planet. Sci. Lett 146, 379-391, 1997. Solheim L. P. and Peltier W. R Phase boundary deflections at 660-km depth and episodically layered isochemical convection in the mantle, J. Geophys. Res 99, 15,861-15,875, 1994. Steinbach V Yuen D. A. and Zhao W Instability from phase transitions and the timescales of mantle evolution, Geophys.

Res. Lett 20, 1119-1122, 1993. Tackley P. J Effects of strongly variable viscosity on three-dimensional compressible convection in planetary planets, J. Gephys. Res 101, 3311-3332, 1996. Tackley P. J Mantle convection and plate tectonics Toward an integrated physical and chemical theory, Science Print, 2888, 2002-2007, 2000. Tackley P. J Stevenson D. J Glatzmaier G. A. and Schubert G Effect of multiple phase transitions in three dimension spherical model of convection in Earths mantle, J. Geophys.

Res 99, 15,877-15,901, 1994. Trubitsyn V. P Phase Transitions, Compressibility, Thermal Expansion, and Adiabatic Temperature in the Mantle, Izvestiya, Physics of the Solid Earth, 36, 101-113, 2000a. Trubitsyn V. P Principles of the tectonics of floating continents, Izvestiya, Physics of the Solid Earth, 36, 101-113, 2000b. Trubitsyn V. P. and Bobrov A. M Evolution of the mantle convection after Breakup of a Supercontinent, Izvestia, Physics of the Solid Earth, 29, 768-778, 1994. Trubitsyn V. P. and Fradkov A. S Convection under Continents and Oceans, Izvestia, Physics of the Solid Earth, 21, 491-498, 1985. Trubitsyn V. P. and Rykov V. V A 3-D numerical model of the Wilson cycle, J. Geodynamics, 20, 63-75, 1995.