Классический хаос неинтегрируемые системы Пуанкаре

Классический хаос неинтегрируемые системы Пуанкаре. Чем простое отличается от сложного? Традиционный ответ содержит ссылку на иерархию. На одном конце шкалы мы находим такие объекты, как маятник, подчиняющийся простым детерминистским законам. На другом конце шкалы находятся люди и их сообщества. Между этими полюсами можно мысленно вписать целую иерархию комплексификации - возникновения сложного из простого.

В действительности же дело обстоит даже более тонко простое и сложное могут сосуществовать вместе, не будучи связаны между собой иерархически. Что касается человеческих сообществ, теория их поведения крайне трудно поддаётся хоть какой-нибудь математизации и заслуживает отдельного рассмотрения, вне рамок настоящей работы. Пример же хаотического поведения простейших физических систем типа маятника будет рассмотрен ниже. При исследовании того, как простое относится к сложному, обычно широко используется понятие аттрактора, то есть конечного состояния или хода эволюции диссипативной системы.

Смысл этого понятия был глубоко преобразован современной физикой и математикой. В прошлом считалось, что все системы, эволюция которых связана с существованием аттрактора, одинаковы. Ныне понятие аттрактора связывают с разнообразием диссипативных систем. Идеальный маятник без трения не имеет аттрактора и колеблется бесконечно.

С другой стороны, движение реального маятника - диссипативной системы, движение которой включает трение постепенно останавливается в положении равновесия. Это положение является аттрактором. Аналогичным образом, аттрактором является и состояние термодинамического равновесия ансамбль из миллиардов и миллиардов частиц, образующих изолированную систему, эволюционирует к состоянию равновесия, описание которого зависит лишь от немногих параметров, таких как температура и давление.

Идеальный маятник служит примером так называемой структурной неустойчивости в отсутствие трения аттрактор не существует, но введение даже самого незначительного трения изменяет движение маятника и вводит аттрактор. Чтобы представить аттрактор геометрически, обычно вводят пространство, размерность которого совпадает с числом переменных, необходимых для описания системы. Это могут быть координаты, импульсы, различные термодинамические переменные. Во введённом пространстве равновесное состояние диссипативных систем соответствует точечному аттрактору.

То же относится и к стационарным состояниям систем, близких к термодинамическому равновесию и удовлетворяющим теореме о минимальном производстве энтропии. Во всех случаях, каково бы ни было первоначальное приготовление системы, её эволюция может быть описана траекторией, ведущей из точки, которая представляет начальное состояние, к аттрактору. Таким образом, конечная точка - аттрактор - представляет собой финальное состояние всех траекторий.

Не все диссипативные системы приводят к одной-единственной конечной точке. Например, сильно неравновесная диссипативная структура, известная под названием химические часы, эволюционирует не к какому-нибудь состоянию, а к устойчивому периодическому режиму. Такая ситуация приводит к необходимости обобщения идеи аттрактора аттрактор более не точка, а линия, описывающая периодическое во времени изменение концентрации химических веществ. Примеры подобных аттракторов легко найти, например, и в радиофизике - ими являются предельные циклы автогенераторов и во многих других разделах естествознания. Система с предельным циклом остаётся предсказуемой и потому допускает простое описание.

Но за этой простотой кроются неожиданные свойства. Нетрудно представить себе химическое равновесие - множество химических процессов, компенсирующих друг друга подобно тому, как в состоянии демографического равновесия рождаемость компенсирует смертность. Но воображение бессильно представить себе, как огромные количества молекул, взаимодействующих только через столкновения, начинают вдруг действовать дружно - так, что среда периодически изменяет свой цвет. В других случаях, пытаясь построить изображение аттрактора, мы получим не точку или замкнутую линию, а поверхность или объём. Поворотным же событием стало открытие аттракторов, не относящихся к столь простым геометрическим объектам - так называемым странных аттракторов.

В отличие от линии или поверхности, странные аттракторы представляют собой фрактальные объекты, характеризующиеся дробной размерностью.

Странные аттракторы были обнаружены в поведении многих динамических систем, описываемых детерминистическими уравнениями движения. Например, они возникают для так называемого сферического маятника - обыкновенного грузика на нитке, который совершает колебания не в плоскости, а по поверхности полусферы. При внесении возмущений в виде колебаний точки подвеса в некоторый критический момент зависящий от частоты возмущения движение маятника становится хаотическим, а его траектория описывается странным аттрактором 1, с.83 . Корреляционный анализ временны х последовательностей, характеризующих работу человеческого мозга, изменения климата на планете за миллионы лет и курса акций на бирже также приводит к обнаружению странных аттракторов.

Впрочем, при наличии огромного количества внешних причин, влияющих на поведение всех этих систем, случайность их поведения вроде бы удивления не вызывает, поэтому пока обратим внимание на более загадочное явление.

Откуда возникает хаотическое поведение в случае сферического маятника? Как было показано выше, хаотическое поведение отображений типа сдвига Бернулли связано с неустойчивостью по начальным условиям, а необратимость их во времени - с потерей информации при сдвиге двоичной записи числа. Можно, однако, возразить, что приведённые примеры отображений несколько искусственны, так как в природе не встречается подобных дискретных процессов, да и вычислительной мощности природы не хватит на выполнение столь мудрёной операций, как модульная арифметика. Оказывается, однако, что и на уровне решения обычных уравнений движений вытекающих из законов Ньютона для того же маятника возможно получение неустойчивых решений, связанных с так называемой неинтегрируемостью системы по Пуанкаре.

Основная проблема классической механики состоит в расчёте движения взаимодействующих тел на основе их уравнений движения в частном случае, например, это может быть закон Ньютона F ma. Обобщение ньютоновской механики на более сложные системы показало, что более удобной формой описания является не зависимость от времени пространственной траектории системы в нашем примере - координаты, а движение точки, изображающей систему, в пространстве вдвое большей размерности, чем обычное физическое. В общем случае состояние динамической системы описывается координатами q1 qs, которые являются независимыми переменными, и соответствующими им импульсами p1 ps. Преимуществом такого подхода является существенное упрощение уравнений движения. Центральная величина всей гамильтоновой механики - функция Гамильтона, или гамильтониан - это, в простейшем случае, выраженная через координаты и импульсы энергия системы Строгое изложение гамильтоновой механики - см. 3 . В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается, но уравнения движения существенно упрощаются.

Рассмотрим систему N точек.

Каждой из 3N координат N точек соответствует каноническое уравнение движения. Аналогично, каждому из 3N импульсов соответствует каноническое уравнение движения вида. В качестве частного случая рассмотрим свободные, то есть невзаимодействующие, частицы.

Гамильтониан для них зависит только от импульсов потенциальной энергии нет. Тогда из канонических уравнений следует, что импульсы постоянны во времени, и что координаты, задающие положение частиц линейные функции времени. Этот тривиальный случай играет, тем не менее, весьма важную роль в общей проблеме интегрирования гамильтоновых уравнений движения.

Чтобы ввести понятие интегрируемой системы, обратимся к другому простому примеру - маятнику на пружинке, одномерному гармоническому осциллятору. Гамильтониан для него имеет вид, где k - жёсткость пружины, q - смещение груза от положения равновесия. Чтобы упростить уравнения движения, введём новые переменные и J вместо старых q и p где - собственная частота колебаний осциллятора. Переменная называется угловой переменной, J - переменной действия.

В переменных угол-действие гамильтониан принимает простой вид H J. Он теперь зависит только от нового импульса - переменной действия. В результате, как и в случае свободных частиц то есть переменная действия является инвариантом движения. Что же касается угловой переменной, то, она меняется линейно по времени. Переход от переменных p, q к переменным J, называется каноническим преобразованием. В данном случае оно позволило исключить из гамильтониана член, ответственный за потенциальную энергию.

Аналогичное преобразование можно иногда проделать и в случае системы со многими степенями свободы, исключив из гамильтониана межчастичное взаимодействие, и выразить движение в циклических переменных. Их название относится к периодическому характеру движения, который делается явным в таких переменных. Особую важную роль играют частоты системы 1, 2 n. Именно через эти частоты мы приходим к понятию резонанса, имеющего решающее значение для теоремы Пуанкаре.

Движение интегрируемой системы с двумя степенями свободы можно представить на торе. Возможны две ситуации. Если для некоторых целых n1 и n2 выполняется условие n11 n22 0, то есть частоты соизмеримы, мы имеем резонанс, и движение на торе периодическое - траектория замкнутая. Если же эта сумма ни при каких комбинациях n1 и n2 не равна нулю, то траектория навивается на поверхность тора и никогда не замыкается. В конце концов, как показано Пуанкаре, такая траектория проходит сколь угодно близко к произвольной точке на поверхности тора. Траектория при этом называется всюду плотной, а движение - квазипериодическим. Квазипериодическое движение очень сложно выглядит, но на самом деле является вполне детерминированным.

До Пуанкаре полагалось, что все динамические системы являются интегрируемыми. Однако в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получит каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным.

Например, система двух тел Земля - Солнце интегрируема, а вот система трёх тел Земля - Солнце - Юпитер неинтегрируема. Короче говоря, подавляющее большинство динамических систем неинтегрируемы. Данная работа не посвящена анализу математических методов, которыми Пуанкаре доказывал свою теорему. Отметим только, что он сформулировал свой вопрос в терминах теории возмущений, то есть пытался для гамильтониана вида H J, H0 J V J, определить новые переменные действия J вида J J J1 2J2 , аналитически переходящие в исходные при стремлении константы связи параметра, определяющего интенсивность взаимодействия к нулю. Если такая замена возможна, то мы можем исключить потенциальную энергию возмущённой системы и ввести новый гамильтониан, зависящий только от J . Интегрирование возмущённой системы было бы в этом случае столь ж простым, так как новые переменные действия были бы постоянными движения.

Однако Пуанкаре показал, что такая замена возможна далеко не всегда.

Предположим, что Пуанкаре удалось бы доказать интегрируемость всех динамических систем. Это означало бы, что все динамические движения изоморфны движению свободных не взаимодействующих частиц. Разумеется, такая модель не оставляет никакого места для возможности макропроцессов, которые мы наблюдаем ежеминутно. В интегрируемом мире не нашлось бы места ни для самоорганизации, ни для когерентности в случае, например, диссипативного хаоса. Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал на её причину, а именно - на существование резонансов между степенями свободы системы.

Именно резонансы сильно связывают степени свободы и не дают возможность исключить взаимодействие. В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид H H0 J1,J2 V J1,J2,1,2 , представимый в виде суммы невозмущённого интегрируемого гамильтониана и малого возмущения V. Как показал Пуанкаре, теория возмущений неизбежно приводит к появлению членов с оласными знаменателями вида 1 n11 n22 . Если частоты соизмеримы и существуют резонансы, то члены ряда теории возмущений расходятся, и им приходится приписывать значение, равное бесконечности.

Но это означает, что в физике описания что-то не так ! Проблема малых знаменателей была известна ещё астрономам в XIX в. Теорема Пуанкаре показала, что основная трудность - появление расходимостей в решении задач динамики - не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических проблем, начиная с проблемы трёх тел. Открытие неинтегрируемости вызвало определённый пессимизм и недоумение в рядах многих физиков.

Макс Борн, например, заметил Было бы весьма странно, если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел. Только с появлением работ Колмогорова, продолженных Арнольдом и Мозером так называемой теории КАМ , проблему неинтегрируемости перестали оценивать как сопротивление Природы прогрессу знания, а начали рассматривать как новый отправной пункт дальнейшего развития динамики.

Теория КАМ рассматривает влияние резонансов на траектории. Простой случай гармонического осциллятора с постоянной частотой, не зависящей от переменных действия J, является исключением частоты, вообще говоря, зависят от значений, принимаемых переменными действия. А посему в одних точках фазового пространства динамической системы резонанс может существовать, а в других - нет. Резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами, классический же результат теории чисел говорит, что мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных равна нулю. Это означает, что резонансы встречаются крайне редко. Кроме того, в отсутствие возмущений, как было сказано выше, резонансы приводят к периодическому движению, а в общем случае мы имеем квазипериодическое движение нерезонансные торы. Резюмируя, можно сказать, что периодические движения - не правило, а исключение.

Интересно было бы предположить, какими путями развивалась бы эволюция жизни на Земле, если бы движение Земли вокруг Солнца не носило периодического характера. Возможна ли, например, жизнь в условиях планетной системы двойной звезды? Автор реферата полагает, что если крайние условия, в которые попадала бы такая планета, не были слишком уж жёсткими, то жизнь нашла бы возможность приспособиться и эволюция была бы всё-таки возможна.

Однако все эти рассуждения основаны лишь на оптимизме автора и его вере в глубокую приспособляемость всего живого к внешним условиям, и имеют крайне мало отношения к объявленной в заглавии теме работы. При введении возмущений характер движения на резонансных торах резко изменяется по теореме Пуанкаре, в то время как квазипериодическое движение изменяется незначительно, по крайней мере, при малом параметре возмущения. Основной результат теории КАМ состоит в том, что теперь мы имеем два совершенно различных типа траекторий слегка изменившиеся квазипериодические траектории и стохастические траектории, возникшие при разрушении резонансных торов. Появление стохастических траекторий подтверждается численными экспериментами 1, c.127 . Теория КАМ не приводит к динамической теории хаоса.

Её главный вклад в другом она показала, что при малых значениях параметра мы имеем промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов - регулярные и стохастические.

В дальнейшем нас будет в основном интересовать то, что происходит в предельном случае, когда снова останется только один тип траекторий.

Эта ситуация соответствует так называемым большим системам Пуанкаре БСП , к рассмотрению которых мы и переходим. При рассмотрении предложенной Пуанкаре классификации динамических систем на интегрируемые и неинтегрируемы мы отметили, что резонансы встречаются редко. При переходе к БСП ситуация радикально изменяется в БСП резонансы играют главную роль. Рассмотрим в качестве примера взаимодействие между какой-нибудь частицей и полем.

Поле можно рассматривать как суперпозицию осцилляторов с континуумом частот. В отличие от поля, частица совершает колебания с одной фиксированной частотой 1. Перед нами - пример неинтегрируемой системы Пуанкаре. Резонансы будут возникать всякий раз, когда 1 k. Испускание излучения обусловлено именно такими резонансными взаимодействиями между заряженной частицей и полем. Испускание излучения представляет собой необратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.

Новая особенность состоит в том, что частота k есть непрерывная функция индекса k, соответствующая длинам волн осциллятора поля. Такова специфическая особенность больших систем Пуанкаре, то есть хаотических систем, у которых нет регулярных траекторий, сосуществующих с хаотическими траекториями. БСП соответствуют в действительности большинству физических ситуаций, с которыми мы сталкиваемся в природе. Но БСП позволяют также исключить расходимости Пуанкаре, то есть устранить основное препятствие на пути к интегрированию уравнений движения.

Этот результат, заметно приумножающий мощь динамического описания, разрушает отождествление ньютоновской или гамильтоновой механики и обратимого по времени детерминизма в духе Лапласа. Уравнения для больших систем Пуанкаре в общем случае приводят к принципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени. Более подробно вопросы необратимости времени рассмотрим в следующем разделе. 1.3 Статистическое описание. Диссипативный хаос Можно описывать мир в терминах траекторий в классической физике или волновых функций в квантовой механике. Почти сто лет назад Гиббс и Эйнштейн ввели ещё один тип описания - статистическое описание в терминах ансамблей.

Описание отдельной динамической системы заменяется описанием ансамбля систем, которые все соответствуют одному и тому же гамильтониану и различаются только начальными условиями эволюции. Для введения ансамблевой точки зрения были две основные причины. Во-первых, описание в терминах ансамбля позволило удобно вычислять средние значения.

Во-вторых, понятие ансамбля стало необходимым для описания системы, достигшей термодинамического равновесия. Оказалось, что термодинамические свойства можно понять только в терминах ансамблей, но отнюдь не в терминах отдельных траекторий или волновых функций. Ансамблевый подход применим ко всем динамическим системам, интегрируемым и неинтегрируемым, устойчивым и неустойчивым. Основной величиной в ансамблевом подходе становится распределение вероятностей.

Однако ничто не мешает вернуться как к предельному случаю. Подход Гиббса-Эйнштейна - альтернативный, но эквивалентный способ представления законов физики, он является сводимым статистическим описанием. Концепцию несводимых статистических описаний, развиваемую школой И.Пригожина, мы подробнее рассмотрим в третьем разделе. Пока что вкратце обратимся к классическому диссипативному хаосу, для которого статистическое описание является единственно возможным подходом.

Введём также некоторые понятия, необходимые для дальнейших рассуждений о статистическом описании. Подробнее - см. 4 . Как и прежде, каждому состоянию системы соответствует точка в фазовом пространстве. Но в теории ансамблей Гиббса система как целое представима лишь облаком точек в фазовом пространстве. Это облако описывается непрерывным распределением плотности вероятности q1, ,qs, p1, ,ps в фазовом пространстве. Каждая точка фазового пространства движется во времени по своей динамической траектории, которые никогда не пересекаются.

Две первоначально различные точки навсегда остаются различными. Это фундаментальное свойство приводит к теореме Лиувилля, которая уже упоминалась при описании преобразования пекаря. Эта теорема утверждает, что плотность ведёт себя как несжимаемая жидкость для любой динамической системы объём области, занятой представляющими точками в фазовом пространстве, сохраняется в ходе эволюции. Однако теорема Лиувилля отнюдь не исключает изменения формы области, занятой представляющими точками. Вернёмся к хаосу.

Примеры хаотически ведущих себя динамических систем, описанные выше, относительно новы и, как уже упоминалось, не всегда физичны. Термодинамика же и статистическая физика примерно на сто лет раньше столкнулись с проблемой хаотического поведения систем. За примерами далеко ходить не следует - окружающая нас атмосфера ведёт себя вполне хаотически, предсказание прогноза погоды на сколько-нибудь большой срок - задача огромной сложности хотя в принципе и небезнадёжная. Однако даже в атмосфере встречаются относительно устойчивые образования и на некотором уровне описания поведение атмосферы не совсем хаотично.

Другим примером того, что термодинамический хаос и беспорядок - в физике не синонимы, являются широко известные ячейки Бенара настолько известные, что автор почему-то совершенно не желает в очередной раз давать описание этого явления - см например, 1, с.68 . И ячейки Бенара, и атмосферные вихри, и многие другие подобные явления относятся к так называемым диссипативным структурам - структурам, существование которых напрямую обусловлено наличием в системе процессов диссипации энергии и производства энтропии.

Таким образом, простое и сложное, детерминированное и хаотическое поведение сосуществуют в современной физике рядом. Закончим этот очень краткий обзор словами И.Пригожина 1, с.59 хотелось бы подчеркнуть замечательный дуализм, который мы обнаруживаем в природе сосуществование равновесных ситуаций типа излучения абсолютно чёрного тела и высокоорганизованных объектов, одним из наиболее замечательных среди которых, по-видимому, является человеческий мозг с его 1011 связанных между собой нейронами.

Порядок и беспорядок не могут быть поняты в терминах Больцмана порядок как менее вероятное состояние, беспорядок как более вероятное состояние. И порядок, и беспорядок являются неотъемлемыми составными частями и продуктами коррелированных эволюционных процессов . 2. НЕОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ Меж тем вот палец твой, он на пульсе.

А вот часы, Они идут, и довольно быстро - я проверял М.Щербаков, Фармацевт 2.1