Проблема несводимого описания

Проблема несводимого описания. Эволюция во времени плотности распределения вероятности определяется уравнением Лиувилля, которое следует из классической гамильтоновой динамики. В операторной записи оно имеет вид при этом явный вид оператора Лиувилля L может быть выведен из гамильтониана.

Следует отметить, что как и операторы квантовой механики, оператор Лиувилля эрмитов. Теория ансамблей Гиббса обобщается на случай квантовой теории с той лишь разницей, что в квантовой теории гильбертово пространство содержит лишь половину переменных, входящих в классическое описание. Место плотности вероятности занимает матрица плотности, эволюция её во времени описывается уравнением Лиувилля-фон Неймана. Так как новый оператор Лиувилля действует не на волновые функции, а на матрицу плотности, которая сама по себе оператор, L обычно называют супероператором.

Оператор L - эрмитов, а пространство матриц плотности - гильбертово. 5 Использование операторного формализма позволяет в статистической механике применять к классическим системам методы, разработанные для квантовых систем определение собственных функций и собственных значений для оператора Лиувилля. Как и в квантовой механике, мы можем рассмотреть задачу на собственные значения При этом, поскольку L - эрмитов оператор, его собственные значения ln действительны.

Кроме того, из функций n можно составить полную ортонормированную систему, по которой раскладывается любая функция распределения. Эволюция же распределения во времени определяется соотношением t U t 0 e-iLt 0 . Как и в квантовой механике, U t - унитарный оператор, и поэтому. Таким образом, распределение вероятности разлагается в сумму независимо развивающихся во времени мод, каждая из которых входит с весом cn, постоянным во времени.

Поскольку собственные значения вещественны, каждая мода вращается в фазовом пространстве. Единственное отличие от квантовой механики состоит в том, что в данном случае каждая мода вносит свой вклад непосредственно в вероятность, а не в амплитуду вероятности, как в квантовой механике. Проблема состоит в том, что решение уравнения Лиувилля для матрицы плотности в гильбертовом пространстве не описывает приближения к равновесию 1, с.166 . Мы сталкиваемся здесь с основной трудностью теории необратимых процессов.

Вращение по фазе сохраняет симметрию во времени. Чтобы получить нарушение симметрии во времени, было бы необходимо иметь комплексные собственные значения ln ln iln, тогда exp -ilnt exp -iln t exp -ln t, и второй множитель порождает экспоненциальное затухание. Но это невозможно, поскольку мы имеем дело с эрмитовым оператором и используем формализм гильбертова пространства. Одна из возможностей, к принятию которой склоняются многие авторы, состоит в утверждении, что поскольку уравнение Лиувилля обратимо во времени, необратимость возникает в результате грубой зернистости, то есть приближённого описания.

Но на микроскопическом уровне мы снова возвращаемся к парадоксу времени. Решить его можно только двумя способами выбрать в качестве исходных новые уравнения движения, с самого начала содержащие необратимость, или отказаться от гильбертова пространства. Концепция Пригожина реализует вторую возможность. Для интегрируемых классических систем решение задачи на собственные значения оператора L приводит к траекториям.

В квантовой теории ансамблей ситуация аналогична. Если задача на собственные значения для гамильтониана H решена, то мы можем решить её и для L и представить решение в терминах волновых функций. Для квантовых систем с дискретным спектром никаких трудностей при этом не возникает, но при переходе к большим системам Пуанкаре с непрерывным спектром и непрерывными множествами резонансов не существует уже конструктивного метода решения задачи ни для H, ни для L 1, с.164 . Отличие статистического описания, даваемого школой Пригожина, от классического эйнштейновско-гиббсовского именно в том, что оно несводимо.

Оно неприменимо к отдельной траектории. Это утверждение представляет собой строгий математический результат, полученный в результате применения к анализу хаоса методов современного функционального анализа. Кроме того, в таком необратимом вероятностном описании прошлое и будущее играют различные роли. Хаос приводит к включению стрелы времени в фундаментальное динамическое описание.

Легко показать, что хаос, определяемый как обычно, приводит к несводимому вероятностному описанию. Пригожин обращает это утверждение и выдвигает новое определение все системы, допускающие несводимое вероятностное описание, по определению считаются хаотическими 1, с.9 . 3.