Неунитарная эволюция и несводимое описание

Неунитарная эволюция и несводимое описание. Необратимость, выражаемая стрелой времени - свойство статистическое.

Она не может быть введена на уровне отдельных траекторий или волновых функций и поэтому требует радиального отхода от ньютоновской механики или ортодоксальной квантовой механики, в основе которых лежат понятия траектории или отдельной волновой функции.

Ещё Больцман понял, что необходим подход на основе ансамблей. Школа Пригожина реализует эту программу с необходимой математической строгостью.

Неустойчивость и хаос вынуждают отказаться от описания классической механики в терминах траекторий и перейти к описанию в терминах распределения вероятности. Примером может служить рассмотренное ранее отображение сдвига Бернулли. В разделе 1.1 был приведён явный вид оператора с дискретным временем, описывающего эволюцию плотности вероятности для сдвига Бернулли применительно к отображениям подобный оператор называется оператором Перрона-Фробениуса. В статистической механике оператор эволюции имеет вид U t e-iLt, а в квантовой механике U t e-iHt. Два последних оператора унитарны, то есть сохраняют скалярное произведение, и в гильбертовом пространстве имеют собственные значения, по модулю равные 1 - то есть приводят к периодическим функциям от времени типа exp -iEnt. В отличие от них оператор эволюции хаотических систем должен описывать приближение к равновесию и, следовательно, содержать время релаксации.

Для этого требуются комплексные спектральные представления.

Оказалось, что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве спектрального разложения отображения не существует. Собственные функции этого оператора не удовлетворяют условию квадратичной интегрируемости, поэтому вместо гильбертова пространства требуется перейти к так называемому обобщённому пространству, включающему наряду с квадратично интегрируемыми функциями, например, ещё и -функции типа дираковской.

Собственные значения для построенных в этом пространстве собственных функций оказываются напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе. На языке распределений вероятности отдельная траектория для сдвига Бернулли представляется функцией n x-xn, сдвиг Бернулли преобразует её в n 1 x-xn 1 x-2xn при xn 1 2 и в n 1 x-xn 1 x 1-2xn при 1 2 x 1. Если при этом величина n постоянна, то n 1 также будет постоянна, что соответствует равновесию и достигается при n. Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора эволюции U. Нетрудно проверить, что U x-1 2 1 2 x-1 2 . Следовательно, x-1 2 - собственная функция оператора U, соответствующая собственному значению 1 2. В отличие от оператора эволюции в квантовой механике, мы получили комплексную спектральную теорию собственное значение соответствует k i ln2 . Полученное значение связано с показателем Ляпунова, который в точности равен 1 2 e-ln 2. Применение оператора U к функции x-1 2 приводит к затуханию.

Итерируя действие оператора U, мы получаем последовательность 1 2 n, которая при n стремится к нулю. Функция x-1 2 принадлежит семейству многочленов, называемых многочленами Бернулли B0 x 1 B1 x x - 1 2 B2 x x2 - x 1 6 B3 x x3 - 3 2 x2 1 2 x B4 x x4 - 2 x3 x2 - 1 30 На первый взгляд может показаться, что задача на собственные значения для сдвига Бернулли решена, но это не так. Рассмотрим теперь оператор U , сопряжённый с оператором U сопряжённый оператор определяется соотношением Uf g f U g. Нетрудно показать, что он имеет вид Можно также показать, что оператор U - изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение однако в отличие от унитарного изометрический оператор не допускает обратного, из чего следует, что сдвиг Бернулли - не обратимое отображение. Задача на собственные значения U f x f x не имеет других решений в классе непрерывных функций, кроме постоянной.

Таким образом, сдвиг Бернулли не имеет спектрального представления в гильбертовом пространстве. Однако U имеет собственные функции и собственные значения в обобщённых пространствах.

Например U x-1 - x 1 2 x-1 - x, следовательно, мы имеем собственную функцию оператора U , которая принадлежит к классу обобщённых функций и имеет такое же собственное значение, какое первый многочлен Бернулли имеет для оператора U. Обозначим поэтому найденную функцию B 1 x. Существует целое семейство обобщенных функций B n x, которые являются собственными функциями оператора U и соответствуют собственным значениям 1 2n. Эти функции не имеют конечной нормы, что вынуждает к переходу в обобщённое пространство.

Их семейство, однако, обладает свойствами ортогональности и полноты.

Таким образом, как и в квантовой механике, мы можем разложить вероятность x по биортонормированному семейству функций. Распространяя скалярное произведение на обобщённые функции, необходимо сделать некоторые существенные замечания. Основное свойство -функции состоит в том, что при интегрировании с обычной непрерывной функции она вырезает её значение в точке x x0. Для корректности скалярного произведения f g, где f - обобщённая функция, необходимо, чтобы g была подходящей функцией, обеспечивающей сходимость скалярного произведения.

Она, очевидно, не должна принимать бесконечных значений - во всяком случае, в точке x x0. Назовём такие функции пробными. Мы можем определить действие оператора A на обобщённую функцию f с помощью соотношения Af g f A g - но такое соотношение вполне определено только при том условии, что A g остаётся пробной функцией.

Задача на собственные значения A f f также имеет смысл только в том случае, если пользоваться пробными функциями g такими, что g Af g f. Возвращаясь к спектральному представлению эволюции при сдвиге Бернулли, делаем вывод так как B n - обобщённые функции, x должна быть пробной функцией, так как в противном случае ей бы соответствовала -функция, для которой скалярное произведение с B n расходится.

Спектральные теории Пригожина применимы только для ансамблей траекторий - это фундаментальный результат. Для хаотических систем, а сдвиг Бернулли - простейший из примеров таких систем, вероятностное описание следует строить не в гильбертовом, а в обобщённом пространстве, и оно несводимо. В этом - принципиальное отличие брюссельского подхода от подхода на основе теории ансамблей Гиббса-Эйнштейна их описание было сводимо, поскольку могло быть разложено на описания отдельных траекторий.

Мы подходим к важному вопросу что означает действие оператора эволюции U t на обобщённую функцию? Это соотношение имеет вполне определённый смысл, если U t g остаётся пробной функцией. Для хаотических систем это условие, как правило, не выполняется и при t 0, и при t 0. Пробные функции для прошлого отличаются от пробных функций для будущего. Этот факт приводит к нарушению симметрии во времени и лежит в основе решения парадокса времени, предлагаемого брюссельской школой.

Рассмотренное выше отображение пекаря также допускает спектральное представление в гильбертовом пространстве, однако собственные значения его оператора Перрона-Фробениуса не имеют при этом отношения к времени Ляпунова - таким образом, хаотические свойства остаются за кадром. Оказывается всё-таки, что некоторые хаотические системы - и преобразование пекаря в частности - допускают дополнительные спектральные представления. Помимо спектрального представления оператора эволюции в гильбертовом пространстве можно построить новое представление в обобщённом гильбертовом пространстве, которое связывает эволюцию во времени с временем Ляпунова.

Может возникнуть вопрос - так какое же представление правильное? С математической точки зрения они оба вполне корректны. Однако комплексные представления в обобщённом пространстве позволяют продвинуться значительно дальше, так как включают в спектр оператора эволюции время Ляпунова, которое характеризует временной горизонт хаотических систем.

Новые представления позволяют описывать приближение к равновесию, явно описывают нарушение симметрии во времени и включают необратимость на фундаментальном уровне описания. Весьма важно, что новые представления несводимы. Неоднократно утверждалось, что хаос, связанный с чувствительностью к начальным условиям, приводит к невычислимым траекториям. Казалось, что это чисто техническая трудность. Как теперь понятно, причина гораздо более глубокая. Существует своего рода соотношение дополнительности в боровском смысле между необратимостью на уровне статистических ансамблей, с одной стороны, и траекторий - с другой.

На простейших хаотических примерах мы проиллюстрировали, как в концепции Пригожина возникает необходимость несводимого описания и как в этом несводимом описании проявляется стрела времени. Обратимся теперь к выводам, которые аналогичный подход даёт в квантовой теории объём настоящей работы не позволяет подробно описать математические особенности применения этого подхода. Приведём только один пример.

В операторе эволюции U t e-iHt будущее и прошлое играют одну и ту же роль, так как независимо от того, какие знаки имеют t1 и t2 выполняется свойство U t1 t2 U t1 U t2 . Принято говорить, что оператор эволюции U t образует динамическую группу. Пробные функции же принадлежат двум различным классам в зависимости от того, какую эволюцию - прямую в будущее или обратную в прошлое - мы рассматриваем. Это означает, что динамическая группа, порождаемая оператором эволюции U t, распадается на две полугруппы - одну для оператора U t, другую - для U -t. Введение стрелы времени позволяет сделать шаг вперёд в рассмотрении уже упоминавшихся больших систем Пуанкаре - например, в задаче рассеяния.

Возникающие в теории возмущений малые знаменатели вида регуляризуются введением малой мнимой добавки при. Это устраняет расходимость - но такая добавка есть не что иное, как введение хронологического упорядочения на микроскопическом уровне! В результате симметричное во времени уравнение Шрёдингера порождает два класса решений, одно из которых соответствует