Описание программы MODMD79

1.3.1. Разработка модернизированной математической модели

Основной идеей, положенной в основу модернизации программы MODMD24, является гипотеза о пропорциональности относительной концентрации в объеме сумме отношений времен пролета молекул в исследуемом объеме и свободном пространстве.

Рассмотрим два одинаковых объема (1 и 2), в которые попадают одинаковые потоки частиц. Разница в том, что в первом объеме рассеяние на стенках диффузное, а во втором – зеркальное. Известно, что при решении задач свободномолекулярной аэродинамики фиктивные стенки можно заменять на зеркально отражающие, поэтому концентрация в первом объеме будет равной концентрации окружающей среды. Таким образом, сравнивая между собой времена пролета молекул в первом и во втором объеме, можно сделать вывод об относительной концентрации в объеме с диффузноотражающими стенками.

Разобьем все влетающие частицы на классы: в класс j входят все частицы с определенной точкой влета, определенной скоростью влета, одинаково рассеиваемые в объеме 1. Пусть при зеркальном отражении в рассматриваемом объеме таких частиц будет N_j, тогда при диффузном отражении число частиц класса j в объеме 1 будет равно:

,

где       t_реалj– среднее время нахождения частиц класса j в объеме 1;

t_идеалj – время нахождения частицы класса j в объеме 2.

 

Очевидно, что

Тогда, сложив частицы всех классов, получим, что в объеме 1 количество частиц равно:

,

где       N – количество рассматриваемых частиц(число частиц в объеме 2).

 

При зеркальном отражении плотность внутри объема равна внешней плотности n = N/V, где V – величина рассматриваемого объема.

Рассмотрим относительную плотность в объеме 1.

                                                                               (58)

Таким образом (58) – расчетная формула для всего объема.

Если объем 1 разбит на несколько частей, то отношение количества частиц класса j в частном объеме к количеству частиц класса j в объеме 1 равно t_частj/t_реалj, где t_частj – время нахождения в частном объеме частиц класса j. Если N_j¢ – количество частиц класса j в объеме 1, то количество частиц класса j в частном объеме

Очевидно, что

Просуммируем по всем классам j, тогда

Плотность в частном объеме естественно задавать как

,

тогда относительная плотность в частном объеме

.                                                          (59)

Таким образом, (59) – расчетная формула для частного объема.

 

Покажем, что (59) соответствует формуле (58). Пусть все частные объемы одинаковы по величине, тогда

По определению:

(60)

При равных частных объемах формула (60) очевидна.

Достоинством данного подхода является то, что для его реализации достаточно внести в текст программы MODMD24 лишь небольшие изменения.

1.3.2. Разработка программы моделирования

В соответствии с изложенными теоретическими идеями была создана программа MODMD79. Модификации в текст MODMD24 вносились таким образом, чтобы основное расчетное ядро оставалось без ощутимых изменений:

а) добавлены новые переменные:

- tid – время пролета молекулы в зеркально отражающей трубе;

- q1 – новое значение вспомогательного коэффициента q;

- Tsss – старое значение переменной Tss, теперь она вычисляется по другой формуле;

- NNN – значение относительной концентрации во всем объеме, рассчитанное по новому методу;

- nk1[] – массив, хранящий значения относительной концентрации в частных объемах, рассчитанные по новому методу, nk[] теперь вспомогательный массив, содержит периоды пролета текущей молекулы в частных объемах;

б) изменения в расчетных процедурах: в конце процедуры counttrack в Tss теперь накапливается величина taukon/tid, в Tsss сохранено старое значение Tss;

в) изменения в теле основной программы:

- значение q1 вычисляется по формуле: (r₁² – r₂²)(1 – r_A²)/(2 ks ps a);

- для каждой конкретной молекулы после моделирования влета определяется величина tid = |L/vx|, обнуляется массив nk[];

- после вылета текущей молекулы значения nk[] делятся на tid, полученный nk[] суммируется с nk1[];

- после отработки всех n траекторий вычисляется NNN по сумме всех элементов nk1[] и вспомогательным коэффициентам (a, q1);

- выходные данные содержат интегральные значения относительной концентрации, рассчитанные как по новому, так и по старому методу (распределение по частным объемам – только по новому методу).

 

2. ДОРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТОРЦЕВЫХ СТЕНОК

МИП имеет входные отверстия, изображенные на рис.1.8а и рис.1.8б. Отверстия в переднем и заднем торцах одинаковы по форме, размерам и, следовательно, площади. Программа расчета распределения концентрации в объеме МИП MODMD82 отличается от описанной в программе MODMD79 формулой для расчета площадей отверстий и механизмом задания координат точек влета молекул в исследуемый объем.

 

Рис. 1.8а Торцевые стенки с овальными отверстиями

Рис. 1.8б Торцевые стенки с круглыми отверстиями

 

Коэффициент прозрачности торцевых сеток, определяемый суммой площадей простых фигур: одной трети кольца с радиусами (r11+r12) и (r11 - r12) и 4 кругов с радиусом r12 для рис.1.8а и 4 кругов с радиусом r22 для рис.1.8б, вычисляется по следующей формуле:

 

                                                                (60)

 

Механизм задания координат точек влета в исследуемый объем связан с вероятностью влета. Для оценки вероятности попадания молекулы с координатами y2, z2 в объем, будем использовать параметр  - радиус влета молекулы, равный расстоянию от оси X до точки влета на плоскости YZ:

                                                                           (61)

 

Вероятность попадания молекулы с  в объем зависит от значения . Радиус влета при заданной геометрии отверстий определяет отношение длины дуги с радиусом , проходящей в области отверстий, к длине всей окружности. Это отношение и соответствует вероятности попадания молекулы с радиусом влета  в объем.

Из рис.4а видно, что не равная нулю вероятность попадания в объем существует только для случаев, когда:

 

r11 - r12 <  < r11 + r12,     r21 - r22 <  < r21 + r22.                       (61)

 

Выражение, определяющее вероятность влета молекулы в область

 Î (r11 - r12, r11 + r12) имеет вид:

                             (62)

где    sum = 0,5 × ( r11 + r12 +   ).

Первое слагаемое в (62) соответствует отношению совокупной длины дуг в области отверстий к длине окружности с , без учета полукругов с радиусами r12. Второе слагаемое учитывает изменение длины дуг на полукругах в зависимости от .

Выражение, определяющее вероятность влета молекулы в область

  Î (r21 - r22, r21 + r22) имеет вид:

                             (63)

где    sum = 0.5 × (r21 + r22 + ).

 

Розыгрыш  точек влета происходит в несколько этапов:

а) В зависимости от значения компоненты скорости vx, определяется торец, через который молекула влетает в исследуемый объем, а, следовательно, координата x2.

б) При помощи генератора случайных чисел выбираются значения y2 и z2, а затем рассчитывается r0=rвл в диапазоне (0,1) до тех пор, пока полученное значение не удовлетворит условию (61).

в) При помощи генератора случайных чисел определяется y0 в диапазоне (0,1), причем условием попадания молекулы в объем является выполнение неравенства: y0 £ y, где y - рассчитывается либо по формуле (62), либо - (63), в зависимости какой торец используется.

При розыгрыше вылета молекулы из объема решается аналогичная задача, в которой выполняется сравнение y0 и y при известном  (если выполняется условие (61)) и, в зависимости от результата, молекула либо вылетает из объема, либо отражается от торцевой стенки.

3. ИСПЫТАНИЯ И АНАЛИЗ ДАННЫХ

3.1. Цель испытаний

Целью испытаний является подтверждение правильности функционирования программ MODMD82 и MODMD82krug и последующий анализ газового потока при разгерметизации КА.