рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Вероятностный подход к описанию погрешностей

Вероятностный подход к описанию погрешностей - раздел Приборостроение, Метрология Законы Распределения Случайных Погрешностей. Случайные Погрешности Обн...

Законы распределения случайных погрешностей. Случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом, как правило, не совпадают между собой, так как из-за сум­марного воздействия множества различных факторов, не поддаю­щихся учету, каждое новое измерение дает и новое случайное зна­чение измеряемой величины. При правильном проведении измере­ний, достаточном их числе и исключении систематических погреш­ностей и промахов можно утверждать, что истинное значение из­меряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор пока не определено теоретически вероятное значение случайной погрешности.

Пусть величину А измеряли п раз и наблюдали при этом значе­ния а1, a2, а3,…,аi,...,аn. Случайная абсолютная погрешность еди­ничного измерения определяется разностью

Di = ai – A . (4.1)

Графически результаты от­дельных измерений представ­лены на рис. 4.2.

При достаточно большом числе п одни и те же погрешности, если они имеют ряд дискретных значений, повторяются и поэтому можно установить относительную частоту (частость) их появления, т.е. отношение числа полу­ченных одинаковых данных mi к общему числу проведенных изме­рении п. При продолжении измерений величины А эта частота не изменится, поэтому ее можно считать вероятностью появления по­грешности при данных измерениях: p(Ai) = mi / n.

Статистическая зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значения называется законом распределе- ния погрешностей или законом распределения вероятности. Этот закон определяет характер появления различных результатов отдельных измерений. Различают два вида описания законов распределения: интегральный и дифференциальный.

Интегральным законом, или функцией распределения вероятностей F(D) случайной погрешности Di в i-м опыте, называют функцию, значение которой для каждого D является вероятностью события Р(D), заключающегося в том, что случайная погрешность Di принимает значения, меньше некоторого значения D, т.е. функцию F(D) = Р[Di < D]. Эта функция при изменении D от -¥ до +¥ принимает значения от 0 до 1 и является неубывающей. Она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных (рис 4.3 а).

Если F(D) симметрична относительно точки А, соот­ветствующей вероятности 0,5 , то распределение результатов наблюдения будет симметрично относительно ис­тинного значения А. В этом случае целесообразно F(D) сдвинуть по оси абсцисс на значение DA, т.е. исключить систематическую составляющую погрешность (DА = Dс) и получить функцию распределения случайной составляющей погрешности D = (рис. 4.3 б). Функция рас­пределения вероятности погрешности D отличается от функции распределения вероятности случайной состав­ляющей погрешности только сдвигом по оси абсцисс на значение систематической составляющей погрешно­сти Dс .

Дифференциальным законом распределения вероятностей для случайной погрешности с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F(D) называют функцию . Эта зависимость есть плотность распределения вероятностей. График плотности распределения вероятностей может иметь различную форму в зависимости от закона распределения погрешностей. Для F(D), изображенной на рис. 4.3 б, кривая распределения f(D) имеет форму, близкую к форме колокола (рис. 4.3 в).

Вероятность появления случайных погрешностей определяется площадью, ограниченной кривой f(D) или её частью и осью абсцисс (рис. 4.3 в). В зависи мости от рассматриваемого интервала погрешности .

 


Значение f(D)dD есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием dD и абсциссами D1 , D2, называемыми квантилями. Так как F(+¥)=1, то справедливо равенство ,

т.е. площадь под кривой f(D) согласно правилу нормирования равна единице и отражает вероятность всех возможных событий.

В практике электрических измерений одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон (Гаусса).

Математическое выражение нормального закона имеет вид

,

где f(D) – плотность вероятности случайной погрешности D = аi - A; s - среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение может быть выражено через случайные отклонения результатов наблюдений Di (см. формулу (4.1)):

.

Характер кривых, описанных этим уравнением для двух значений s, показан на рис. 4.4. Из этих кривых видно, что чем меньше s, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения. В практике измерений встречаются и другие законы распределения, которые могут быть установлены на основании статистической обработки

опытных данных. Некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения приведены в ГОСТ 8.011-84 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений».

Основными характеристи- ками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины - это такое ее значение, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений. Мате-матическое ожидание дискрет-ной случайной величины М[X] определяется как сумма произ-ведений всех воз­можных значений случайной величины на вероятность этих зна­чений .

Для непрерывных случайных величин приходится прибегать к интегрированию, для чего необходимо знать зависимость плот­ности вероятности от х , т. е. f(х), где х=D. Тогда.

Это выражение означает, что математическое ожидание равно сумме бесконечно большого числа произведений всех возможных значений случайной величины х на бесконечно малые площади f(х)dх, где f(х) —ординаты для каждого х, a dх - элементарные отрезки оси абсцисс.

Если наблюдается нормальное распределение случайных по­грешностей, то математическое ожидание случайной погрешности равно нулю (рис. 4.4). Если же рассматривать нормальное распределение результатов, то математическое ожи­дание будет соответствовать истинному значению измеряемой ве­личины, которое мы обозначаем через A.

Систематическая погрешность при этом представляет собой отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения А измеряемой величины: Dс = М[X] – A, а случайная погрешность – разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием: .

Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания:

D[X] =Dx=M[(ai – mx)2].

Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Однако дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение (СКО), равное корню квадратному из дисперсии : .

Рассмотренное нормальное распределение случайных величин, в том числе и случайных погрешностей, является теоретическим, поэтому описанное нормальное распределение следует рассматри­вать как «идеальное», т. е. как теоретическую основу для изучения случайных погрешностей и их влияния на результат измере­ний.

Далее излагаются способы применения этого распределения на практике с той или иной степенью приближения. Рассматривает­ся также еще одно распределение (распределение Стьюдента), применяемое при небольших количествах наблюдений.

Оценки погрешностей результатов прямых измерений. Пусть было проведено п прямых измерений одной и той же величины. В общем случае в каждом из актов измерений погрешность будет разной:

Di = ai – A,

где Di - погрешность i-го измерения; ai - результат i-го измерения.

Поскольку истинное значение измеряемой величины A неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. При практических расчетах приходится вместо A использовать его оцен­ку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифме­тическому значению ряда измерений:

. (4.2)

где аi - результаты отдельных измерений; п — число измерений.

Теперь аналогично выражению (4.1) можно определить отклонение результата каж­дого измерения от среднего значения :

(4.3)

где vi - отклонение результата единичного измерения от среднего значения. Следует помнить, что сумма отклонений результата изме­рений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна, т. е.

и min.

Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля пра­вильности вычислений.

Затем вычисляют оценку значения средней квадратической погрешности для данного ряда измерений

. (4.4)

Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погреш­ности, оценка S сходится по вероятности к s. Таким образом,

. (4.5)

Ввиду того что среднее арифметическое значение также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического от­клонения среднего арифметического значения. Эту величину обозна­чим символом sср. Можно показать, что для независимых погрешностей

. (4.6)

Значение sср характеризует степень разброса . Как указывалось вы­ше, выступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е. является конечным результатом выполняемых измерений. Поэтому sср называют также средней квадратической погрешностью результата измерений.

На практике значением s, вычисляемым по формуле (4.5), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемо­го метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдельных измерений мал, т.е. мало значение s. Значение же sср , вычисляемое по (4.6), используется для характеристики точности результата изме­рений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых из­мерений.

При оценке результатов измерений иногда пользуются понятием максимальной или пре­дельной допустимой погрешности, значение которой определяют в долях s или S . В настоящее время существуют разные критерии установления максимальной погрешности, т. е. границы поля допу­ска ±D, в которые случайные погрешности должны уложиться. Об­щепринятым пока является определение максимальной погрешно­сти D = 3s (или 3S). В последнее время на основании ин­формационной теории измерений профессор П. В. Новицкий рекоменду­ет пользоваться значением D = 2s.

Введем теперь важные понятия доверительной вероятности и доверитель­ного интервала. Как указывалось выше, среднее арифметическое зна­чение , полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения А и, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Рд есть вероятность того, что отличается от А не более чем на D, т.е. Р(-D< А<+D)=Рд . Вероятность Рд называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от -D до +D - доверительным интервалом.

Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью Рд доверительный интервал от -D до +D заключает в себе истинное значение А. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погреш­ность достаточно полно, надо располагать двумя числами — доверитель­ной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (п < 20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероят­ностей, практически совпадающую с нормальной при больших п, но зна­чительно отличающуюся от нормальной при малых п.

В табл. 4.1 приведены так называемые квантили распределения Стью­дента ½t(n)½Рд для числа измерений п = 2 - 20 и доверительных вероятностей Р = 0,5 - 0,999.

Укажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений п и Рд , а для значений m = n-1 и a =1 – Рд , что следует учитывать при пользовании ими. Чтобы определить довери­тельный интервал, надо для данных п и Рд найти квантиль ½t(n)½Рд и вычислить величины Ан= -sср× ½t(n)½РдиАв = +sср× ½t(n)½Рд, которые будут являться нижней и верхней границами доверительного интервала.

После нахождения доверительных интервалов для заданной до­верительной вероятности согласно выше приведенной методике делают запись результата измерения в виде ; D = Dн ¸ Dв ; Рд ,

где - оценка истинного значения результата измерения в единицах измеряемой величины; D - погрешность измерения; Dв = +sср× ½t(n)½Рд и Dн = -sср× ½t(n)½Рд – верхняя и нижняя границы погрешности измерения; Рд – доверительная вероятность [14].

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Метрология

С в бирюков а и чередов.. метрология..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Вероятностный подход к описанию погрешностей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Омск 2000
УДК 389 (075) ББК 30.10 я 73 Б 64 Рецензенты: В.М.Осипов, гл. конструктор ПО “Электроточприбор”; А.И.Калачев, проректор по научной работе Сибирского

МЕТРОЛОГИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ОБЛАСТИ МЕТРОЛОГИИ
Метрология - это наука об измерениях, о методах и средствах обеспеченияих единства и способах достижения требуемой точ­ности [ 2 ]. Метрология зародилась в глубокой др

Измерение. Измеряемые величины
Определения метрологии и метрологического обеспечения на­чинаются с основного понятия - измерение. Пожалуй, ни одно определение в области метрологии не вызывает столько споров, как определение этог

Физическая величина. Единица физической величины
Физическая величина - это свойство, общее в качественном отношении многим объектам (системам, их состояниям и проис­ходящим в них процессам), но в количественном отношении ин­дивидуальное дл

Системы единиц физических величин
При проведении любых измерений измеряемая величина сравнивается с другой однородной с ней величиной, принятой за единицу. Для построения системы единиц выбирают произвольно несколько физических вел

Размер величины. Значение величины
Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу [3]. Иногда возражают проти

Размерность физических величин
Размерность физических величин— это соотношение между единицами величин, входящих в уравнение, свя­зывающее данную величину с другими величинами, через которые она выражается. Разм

Методы и средства измерений
Под понятием метод измерения подразумевается совокупность процессов использования принципов и средств измерений. Принцип измерений - это совокупность физических явлений, на к

Измерений
Эталон единицы физической величины — средство измерений (или комплекс средств измерений), предназначенное для воспро­изведения и хранения единицы данной величины (в некоторых случаях только

Точность измерений
Термин «точность измерения» применяется очень широко, одна­ко пока нет общепринятого способа выражать точность измерения количественно. В ГОСТ 16263—70 сказано: «Количественно точ­ность може

Погрешность измерений
Под погрешностью измерения понимается алгебраическая раз­ность между полученным при измерении значением измеряемой величины и значением, выражающим истинный размер этой величины. Практически

Поверка средств измерений
Поверка – совокупность операций, выполняемых органами государственной метрологической службы с целью определения и подтверждения соответствия средства измерений установленным техническим тре

Меры и наборы мер
Мерой называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. При­мерами мер являются аттенюаторы - меры затухания, магазины сопротивлений

Измерительные преобразователи
Согласно ГОСТ 16263 - 70 измерительный преобразователь - это средство измерений, предназначенное для выработки сигнала из­мерительной информации в форме, удобной для передачи, дальней­шего п

Измерительные приборы
Измерительный прибор - средство измерения, предназначен­ное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Выработк

Измерительные установки и системы
Измерительная установка - это совокупность функционально объединенных средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств, предназначе

Метрологические характеристики средств измерений
Измерительная техника обладает большим арсеналом разнообраз­ных средств измерений, предназначенных для решения различных из­мерительных задач. Все средства измерений можно характеризовать некоторым

Погрешности средств измерений
Составляющая погрешности измерений, обуслов­ленная свойствами применяемых средств измерений (далее СИ), называется инст­рументальной погрешностью измерения. Эта погреш­ность является важнейш

Нормирование метрологических характеристик средств измерений
Средства из­мерений можно использовать по назначению, если известны их метрологические свойства. Последние обычно описывают путем указания номинальных значений тех или иных характеристик и допускае

Способы выражения пределов допускаемых погрешностей средств измерений
В настоящее время для большинства электрических средств измерений, используемых в статическом режиме, нормируют пределы допускаемых погрешностей. Пределом допускаемой погрешности (д

Погрешности измерений
При практическом осуществлении процесса измере­ний независимо от точности средств измерений, правиль­ности методики и тщательности выполнения измерений результаты измерений отличаются от и

Абсолютные и относительные погрешности
Абсолютная погрешность D - это разность между измерен­ным X и истинным Xи значениями измеряемой величины. Абсо­лютная погрешность выражается в единицах измеряемой ве­личины: D =

Отсчитывания и установки
Инструменталь­ными (приборными или аппаратурными) погрешностями называются такие, которые принадлежат данному средству измерений, могут быть определены при его испытаниях и занесены в его п

Систематические, прогрессирующие, случайные и грубые погрешности
Систематическая погрешность измерений Dс — состав­ляющая погрешности измерения, остающаяся постоян­ной или закономерно изменяющаяся при повторных из­мерениях одной и той же велич

Формы представления результатов измерения
Результат измерения имеет ценность лишь тогда, когда можно оценить его интервал неопределенности, т.е. степень достоверности. Поэтому результат измерений должен содержать значение измеряемой величи

ЭТАЛОНЫ. ОБРАЗЦОВЫЕ И РАБОЧИЕ МЕРЫ
Для обеспечения единства измерений необходима тожде­ственность единиц, в которых проградуированы все средства изме­рений одной и той же физической величины. Единство измерений достигается

Эталоны
Эталоном единицы величины называют средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения единицы величины (или кратных либо дольных значений единицы величины) с целью пере­дачи

Меры электрических величин
Эталоны, которые воспроизводят единицу измерения, называют мерами. По назначению меры делят на образцовые и рабочие. Меры, утвержденные в качестве образцо­вых, предназначаются для пов

Об обеспечении единства измерений
Измерения являются могучим средством, объединяющим те­орию с практической деятельностью человека. Результаты из­мерений в современном обществе приобретают большую значи­мость. Они служат основой дл

Государственное управление обеспечением единства измерений
Государственное управление деятельностью по обеспечению единства измерений в Российской Федерации осуществляет Комитет Российской Фе­дерации по стандартизации, метрологии и серти­фикации (Госстанда

Государственный метрологический контроль и надзор
Виды государственного метрологического контроля и надзора. Государственный метрологический контроль и надзор осуществляется Государственной метрологической службой Госстандарта России. Госуд

Калибровка и сертификация средств измерений
1. Калибровка средств измерений Средства измерений, не подлежащие поверке, могут подвергаться калибровке, при выпуске из производства или ремонта, при ввозе по импорту, при эксплуатации, п

Б И Б Л И О Г Р А Ф И Я
1. Атамалян Э.Г. Приборы и методы измерения электрических величин: Учеб. пособие для студ. втузов. – М.: Высш. шк., 1989. – 384 с. 2. ГОСТ 16263-70 ГСИ. Метрология. Термины и определения.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги