МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ АНАЛИЗА РИСКА В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ УСЛОВИЯХ

Математический аппарат анализа риска базируется на теории вероятностей, статистическом анализе, алгебре логики и событий, системном анализе.

2.2.1. Основные понятия теории вероятностей
и их применение к оценке риска

Главное исходное понятие теории вероятностей - случайное испытание, под которым подразумевается действие, приводящее к некоторому результату, который невозможно однозначно предсказать заранее, зная полностью условия проведения испытания. Примером случайного испытания при определении риска может служить медицинское обследование людей, учет пострадавших на производстве. Насколько бы полной ни была информация о загрязнении среды, под воздействием которого находится каждый обследуемый, невозможно со стопроцентной надежностью заранее предсказать наличие или отсутствие у него определенных отклонений от нормы (отравлений, заболеваний).

Результат случайного испытания называется элементарным событием. Так, диагноз "практически здоров" является одним из элементарных исходов медицинского обследования. В качестве элементарных событий можно также рассматривать различные варианты неблагоприятных эффектов воздействия производственных факторов риска: смерть в течение 5 лет после воздействия фактора, увеличение профессионально обусловленной заболеваемости работников конкретного производства и т. д.

Полная система элементарных событий, т. е. такой набор элементарных событий, одно из которых обязательно произойдет при любом испытании с заданным комплексом условий, называется пространством элементарных событий. Так, каждый из показателей, регистрируемых при медицинском обследовании или при измерении показателей качества среды, порождает свое пространство элементарных событий. При определении пола возможны лишь два исхода - мужской либо женский. При определении возраста в полных прожитых годах пространство элементарных событий совпадает с множеством целых чисел, включая 0. При измерении температуры воздуха рабочей зоны пространство элементарных событий представляет собой диапазон действительных чисел, границы которого соответствуют минимальному и максимальному для данного предприятия (организации).

Пространство элементарных событий называют также генеральной совокупностью.

Случайным событием, или просто событием, называется любое подмножество пространства элементарных событий (например, концентрация вредного вещества в воздухе производственного помещения в течение рабочего времени в определенном диапазоне). Событие, включающее все возможные элементарные события, т. е. происходящее в любом случае (обычно обозначается как Ω), называется достоверным, или полным (например, при оценке причин несчастного случая используются все собранные в результате расследования материалы). Событие, не содержащее ни одного элементарного, т. е. не происходящее никогда, называется пустым, или невозможным (измерений сопротивления заземления электроустановки не проводилось). Пустое событие обозначается символом 0.

Объединением, или суммой событий А и В, называется событие, состоящее из всех элементарных событий, входящих хотя бы в одно из событий А или В (обозначается как А U В). Иначе говоря, событие А U В происходит, если происходит хотя бы одно из событий А или В. Так, если событие А отражает факт радиационного загрязнения территории, а событие В характеризуется как облучение людей, находящихся на этой территории, то событие А U В имеет место как для людей, находящихся на зараженной территории (постоянно проживающих или временно), так и для людей облученных (независимо от полученной дозы).

Пересечением, или произведением, событий А и В называется событие, состоящее из всех элементарных событий, входящих в А и В одновременно (обозначается как А П В или АВ), т.е. событие АВ происходит, когда происходят одновременно как А, так и В, в предыдущем примере событие АВ имеет место для всех облученных людей, находящихся на зараженной территории.

Дополнением, или отрицанием, события А (обозначается как Ā) называется событие, включающее все элементарные события, не входящие в А. Событие Ā происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (например, А - проживание на загрязненной, Ā - на чистой территории). События А и В называются непересекающимися, или несовместными, если их пересечение - невозможное событие, т.е. АВ = O (например, А - наличие химического загрязнения в помещении, В - действие электрического тока). Любое событие несовместно со своим дополнением.

Система событий {А₁, ..., А_n} называется полной, если пересечение любой пары из них является пустым событием (А_iA_j = O при i≠j), а объединение их всех представляет собой полное событие (А₁ U ... U А_n =Ω). Например, для класса вредного вещества используются семь показателей. Полную систему образует, в частности, любое событие вместе со своим дополнением.

Понятие вероятности. Понятие вероятности является базовым для количественного описания рисков. Вероятность события - это мера, определяющая шанс появления этого события в испытаниях по сравнению с другими исходами. Риск определяется как вероятность неблагоприятных эффектов для здоровья человека или состояния окружающей среды. Формально-математически вероятность определяется следующим образом:

для заданного пространства элементарных событий Ω вероятностью называется функция Р(А), определенная для любого события А и удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам):

1) вероятность любого события неотрицательна:

Р(А) ≥ 0 для любого А; (2.2.1)

2) вероятность достоверного (полного) события равна 1:

P(Ω) = 1; (2.2.2)

3) для любой системы непересекающихся событий {А1, А2, ...} вероятность их объединения равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁ U А₂ U...) = Р(А₁) + Р(A₂) + .... (2.2.3)

Из этих аксиом можно вывести следующие свойства вероятности:

- вероятность любого события лежит в интервале от 0 до 1:

для любого А; (2.2.4)

вероятность пустого (невозможного) события равна 0:

Р(0) = 0. (2.4.5)

Если в качестве событий А₁, A₂, .... рассматриваются различные последствия воздействия (тяжесть последствий) чрезвычайных ситуаций (например: отсутствие последствий; возникновение заболеваний; смерть и т.д.), то значения вероятностей для различных исходов служат характеристиками риска, обусловленного данным чрезвычайным событием. Для любой конкретной ситуации нетрудно убедиться, что вероятности отдельных исходов удовлетворяют всем приведенным выше свойствам вероятности. Например, если в качестве возможных исходов воздействия рассматривать перечень степеней тяжести заболевания, возникшего в результате этого воздействия (такой набор событий представляет собой полную систему), то очевидно, что для каждой степени тяжести величина риска находится в интервале между 0 и 1, а риск суммы нескольких исходов равен сумме рисков этих исходов.

Условная вероятность. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В (обозначается как Р(А|В)), называется отношение вероятности пересечения событий A и В к вероятности события В (при условии, что Р(В) ≠ 0):

(2.4.6)

Из этого определения следует формула умножения вероятностей:

(2.4.7)

Событие А|В (событие А при условии В) можно интерпретировать как извлечение элемента, соответствующего событию В из подмножества генеральной совокупности, соответствующего событию В. Доля таких элементов во всей генеральной совокупности равна Р(АВ), а в подмножестве В их доля соответственно в Р(В) раз меньше, т. е. равна Р (АВ)/Р (В). При оценке рисков часто используется следующее представление ситуации: в качестве события А рассматривается воздействие фактора риска, в качестве события В - неблагоприятный эффект для здоровья, тогда событие А|В соответствует появлению данного неблагоприятного эффекта при условии воздействия фактора риска.

Наиболее типичная сфера непосредственного применения понятий вероятности и условной вероятности, например, оценка рисков генетически обусловленных заболеваний вследствие радиационных или химических воздействий при авариях.

Независимость событий. При анализе рисков часто требуется установить сам факт зависимости между исследуемым фактором риска и показателями здоровья. При анализе множественных факторов риска необходимо также учитывать возможные зависимости между ними (например, взаимосвязи между уровнями токсичного вещества в атмосферном воздухе, воде и почве, обусловленными общим источником загрязнения). Методы количественного анализа подобных эффектов основаны на следующем вероятностном определении независимости.

События А и В (оба имеющие ненулевую вероятность) называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р (А)Р(В). (2.4.8)

Из этого определения следует, что для независимых событий условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности А:

(2.4.9)

Точно так же условная вероятность В при условии А равна безусловной вероятности В:

(2.4.10)

Более того, выполнение любого из условий Р(А|В) = Р(А) или Р(В|А) = Р (В) влечет за собой выполнение соотношения Р(АВ) = Р(А)Р(В), определяющего независимость, т. е. равенство условных вероятностей безусловным является необходимым и достаточным условием независимости событий. Поэтому на практике сравнение условных вероятностей с безусловными используют в целях выявления взаимозависимостей между определенными событиями, в частности между подверженностью действию некоторого фактора риска и наносимым ущербом.

Полная вероятность. Рассматриваемая ниже формула полной вероятности используется в целях оценки индивидуального риска в случае недостатка информации о величине некоего воздействия на конкретного человека. Например, если для конкретного случая воздействия фактора риска неизвестна экспозиция, но известны вероятности и величины последствий для всех возможных в данной ситуации уровней экспозиции.

Если события А₁, А₂, ..., А_n образуют полную систему, то из условия их попарной независимости и полноты для любого события В формулу условной вероятности можно записать следующим образом:

Р(В) = Р (В|А₁)Р(А₁) + Р(В|А₂)Р(А₂) + ... + Р(В|А_n)Р(А_n). (2.4.11)

Эта формула называется формулой полной вероятности. Она используется для определения вероятности события В (например, получение травмы конкретным работником в результате аварии в цехе) в случае, когда об этом событии известны только его условные вероятности при условии реализации некоторого набора других событий, образующего полную систему.

Формула Байеса. Оценки риска тем более надежны, чем большее число наблюдений использовано для их вычисления. Очевидно, что накопление информации в процессе изучения, например, последствий чрезвычайных ситуаций позволяет уточнять ранее полученные оценки последствий воздействия чрезвычайных ситуаций. Уточнение оценок осуществляется с помощью формулы Байеса, которая выводится из рассмотренных выше формул условной вероятности и формулы умножения вероятностей.

При решении задачи уточнения рисков исходные значения вероятностей событий А_i, т.е. Р(А_i), называются априорными (доопытными) вероятностями гипотез A_i, а полученные по формуле Байеса вероятности Р (А_iВ) - апостериорными (полученными в результате опыта, в котором наступило событие В) вероятностями гипотез А_i.

Формула Байеса выводится следующим образом. Из формулы умножения вероятностей имеем:

Р(А_iB) = Р(А_i|В)Р(В) = Р(В|А_i)Р(А_i), (2.4.12)

откуда

(2.4.13)

Подставляя в эту формулу выражение Р(В) из формулы полной вероятности, получим

(2.4.14)

Формула Байеса - это формула вероятности гипотез, она используется для коррекции имеющейся информации о вероятности событий на основе результатов новых испытаний.

Случайные величины. При исследовании рисков следует иметь в виду, что измерение как вероятности (частоты) воздействий, так и их последствий всегда включает некоторый элемент неопределенности. Поэтому возникновение аварии на производстве и причиняемый ею ущерб рассматриваются как случайные величины.

Случайной величиной (в статистике такие величины чаще всего обозначается буквой ξ) называется любая функция, заданная на множестве элементарных событий, т.е. функция, ставящая по определенному правилу в соответствие любому элементарному событию некоторое число. Любая функция от случайной величины также является случайной величиной.

Неопределенность при измерении случайной величины имеет несколько источников:

- неоднородность пространства элементарных событий, т. е. наличие событий, для которых случайная величина принимает различные значения;

- случайные ошибки наблюдения: ошибочная классификация вредного вещества, ограниченная чувствительность измерительных приборов;

- систематические ошибки наблюдения (смещения), обусловленные неправильной калибровкой измерительных приборов;

- зависимость изучаемой случайной величины от других случайных величин (например, степени поражения электрическим током от его величины).

Два первых источника вариабельности обеспечивают случайные, а два последних - закономерные, или систематические, изменения случайной величины.

Например, важнейшим аспектом оценки рисков является получение характеристик "доза-эффект", т. е. взаимосвязей между случайными величинами, соответствующими факторам риска и показателям ущерба. Организация исследования, направленного на изучение таких связей, должна обеспечивать максимально надежные выводы. Это осуществляется за счет:

- учета информации о поведении случайной величины на множестве элементарных событий);

- минимизации, насколько это возможно, случайных ошибок наблюдения, а также достаточно большого числа наблюдений для того, чтобы ошибки, искажающие истинное значение регистрируемых случайных величин в сторону завышения или занижения, взаимно компенсировали друг друга;

исключения систематических ошибок наблюдения, а если это невозможно, использования при принятии решений вместо непосредственно измеряемых величин таких функций от них, которые позволяли бы компенсировать смещение (например, разностей - для случая, когда ошибки измерения связаны со смещением начала отсчета).