The mathematics of money management: risk analysis techniques for traders

1. Эмпирическая техника

Определяя количество.

Когда бы вы не входили в сделку, вы принимаете два решения: вы не только решаете открывать длинные или короткие позиции, но и принимаете решение о том, каким объемом входить в сделку. Решение относительно количества всегда является функцией от размера вашего капитала.

Однако количество открываемых позиций зависит не только от величины счета, но и от некоторых других моментов - от нашего ожидания величины наихудшей потери при следующей сделке, от скорости, с которой мы бы хотели, чтобы рос наш счет. Есть и другие аспекты, которые мы пытаемся учитывать, когда принимаем субъективное решение о том, каким объемом входить в сделку.

В представленном ниже материале показано, как математически правильно принимать решение относительно величины объема. Вам больше не надо будет принимать решения субъективно - и, часто, неверно. Вы увидите, что плата за неправильные решения в этой области очень высока и увеличивается со временем.

Для любой открываемой позиции мы имеем в уме некий наихудший сценарий, определяющий наибольшую величину потерь Этот наихудший сценарий (часто неосознаваемый явно) вместе с размером счета определяют размер открываемых позиций. Рассмотрим пример. На счету находится 50000$, ожидание наибольших потерь составляет 5000$ на контракт. Мы открываемся 5 конрактами. В таком случае, есть некая величина f (fraction, часть), позволяющая связать эти три цифры:

50.000/(5.000/f)=5 f=0.5

Данная величина может иметь значение от 1 до 0.

Многие трейдеры ошибочно считают, что достаточно входить в рынок в правильном направлении, а каким количеством - это дело десятое. Более того, они ошибочно полагают, что существует прямая пропорциональная зависимость между тем количеством позиций, которые они открывают и предполагаемым размером прибыли или убытка.

Это не верно. Взаимоотношение между потенциальной прибылью и объемом открываемых позиций является нелинейным. На самом деле это взаимоотношение описывается кривой. У этой кривой есть вершина - и именно в районе вершины интересующее нас отношение является максимальным.

Рассмотрим в качестве примера следующую ситуацию: есть 50% игра (вероятность выигрыша и вероятность проигрыша равны 50%), причем при выигрыше на первый ход к счету добавляется 2$, а при проигрыше на первый ход отнимается 1$. При последующих ходах соотношение между размером ставки и проигрышем или выигрышем остается неизменным. (Пример: начальная ставка 10$ - следовательно, при каждом выигрыше размер счета увеличивается на 20%, при проигрыше - уменьшается на 10%). На рисунке представлены результаты такой игры после 40 последовательных ставок в зависимости от величины начальной ставки:

Обратите внимание, что для данной игры оптимальное f равно 0.25. После 40 ставок при данном значение f величина TWR равна 10.55 (TWR - это сокращение от Terminal Wealth Relative и представляет из себя результат деления результата игры на начальную ставку). TWR равное 10.55 означает, что по результату 40 ставок исходный размер ставки увеличился в 10.55 раз (955% дохода).
Теперь посмотрим, что происходит, если сдвинуть оптимальное f на 15%. При f равном 0.1 или 0.4 TWR равно 4.66. Таким образом, сдвиг оптимального f всего на 15% приводит к уменьшению прибыли более, чем в 2 раза!

Что означают эти величины в переводе на доллары? f равное 0.1 означает, что размер первой ставки будет равен 10$, f равное 0.4 - размер ставки равен 2.5$. А оптимальное f равное 0.25 приводит нас к оптимальному размеру ставки для данной игры, равному 4$. Интересно, что при f равном 0.5 (размер ставки 2$) TWR равно 1, иначе говоря, мы стоим на месте. А при f больше 0.5 мы проигрываем, и времы проигрыша - только вопрос времени.

В это тяжело поверить, ведь выигрыш в два раза больше проигрыша, поэтому для облегчения восприятия этого пункта рассуждений приведу пример. Возьмем начальную ставку в размере 1.5$ и смоделируем игру в количестве 6 ставок. Причем пусть первые три раза мы выиграем, а три последующих раза - проиграем. (На самом деле результат не зависит от очередности проигрышей и выигрышей - в этом каждый может убедиться, промоделировав данную игру с другой последовательностью выигрышей и проигрышей).

Итак, размер ставки равен 1.5$, следовательно размер выигрыша 2$ приводит нас к тому, что в данной конфигурации игры выигрыш будет составлять 2/1.5=133% от ставки. Проигрыш будет составлять 1/1.5=67% от ставки.

1 ход. 1.5 *1.33=1.995$

2 ход. 1.995 *1.33=2.65335$

3 ход. 2.65335 *1.33=3.5289555$

4 ход. 3.5289555 *0.67=2.3644$

5 ход. 2.3644 *0.67=1.584148$

6 ход. 1.584148 *0.67=1.061379$

Итого, после 6 ходов в данной игре мы потеряли 0.4386$, что составляет чуть больше 29% от начального капитала. Окончательный проигрыш - вопрос только времени.

Таким образом, действительно, соотношение между потенциальной прибылью и объемом открываемых позиций является нелинейным. Оптимальная величина ставки в зависимости от риска игры определяется с помощью оптимального f. Отклонение от пика оптимального f на рисунке вправо приводит сначала к уменьшению размера прибыли, а потом и к убыткам в результате слишком высокого соотношения риск/выигрыш, отклонение от пика влево приводит к уменьшению размера прибыли из-за слишком низкого соотношения риск/прибыль, иначе говоря, в этом случае потенциал капитала используется не полностью.

Решение относительно количества капитала, подвергаемого риску в каждой отдельной сделке является не менее важным, чем решение о том, в какую сторону открываться. Более того, несмотря на заблуждение большинства трейдеров, правильность или неправильность при определении направления захода ни как не влияет на правильность или неправильность определения размера открываемой позиции. Это два самостоятельных, независимых друг от друга аспекта. Мы не можем проконтролировать, будет ли предстоящая сделка прибыльной или нет. Однако мы можем проконтролировать правильность размера открываемых позиций - и мы должны это делать.