Использование корреляционно-регрессионного метода

Использование корреляционно-регрессионного метода. В факторном анализе производительности труда используется корреляционно-регрессионный метод, дающий возможность определить количественную меру влияния каждого фактора, при исключении влияния других, или же группы факторов, взятых во взаимной комбинации, при неизменных прочих факторах. Для изучения совокупного влияния нескольких факторов на изменение производительности труда применяется метод множественной корреляции.

Степень зависимости уровня производительности труда от нескольких факторных признаков при прямолинейной форме связи характеризует совокупный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле Rxzy , 38 где rzy, rxy, rxz - парные коэффициенты корреляции, характеризующие зависимость между двумя признаками rxy - между x и у, rzy - между z и у, rxz - между х и z. Методом множественной корреляции определим влияние на величину выработки труб на одного рабочего в условных километрах у двух факторов - расхода электроэнергии на одного рабочего в кВт-ч х и коэффициента использования оборудования во времени z. Парные коэффициенты корреляции имеют следующие значения rxy 0,624 rzy 0,573 rxz 0,296. Совокупный коэффициент корреляции в этом случае равен Rxzy 0,71 Таким образом, совокупный или множественный коэффициент корреляции свидетельствует о достаточно тесной зависимости производительности труда от электровооруженности труда и экстенсивной нагрузки оборудования.

Коэффициент детерминации R2 0,712 0,504 свидетельствует, что вариация производительности труда на 50,4 определяется вариация двух факторов.

Однако эти факторы лишь наполовину определили изменения производительности труда, так как этот показатель зависит от большого числа переменных.

Поэтому в практике экономико-статистического анализа для изучения зависимости производительности труда от значительного числа факторов используется корреляционный метод.

Допустим, необходимо исследовать совокупное влияние на производительность труда пяти факторов электровооруженности труда рабочего х кВт-ч коэффициента экстенсивной нагрузки оборудования z коэффициента интенсивной нагрузки оборудования q среднегодового съема труб с одной технологической линии h усл. км максимальной выработки на одного рабочего при полном использовании оборудования q. Парные коэффициенты корреляции соответственно равны rxy 0,62 rzу 0,57 rqy 0,75 rhy 0,87 rgy 0,57. Применяя матрицу парных коэффициентов корреляции, можно рассчитать совокупный коэффициент корреляции, характеризующий зависимость производительности труда от указанных пяти факторов.

В этом случае R 0,98, а R2 0,96. Учтенные пять факторов на 96 , т. е. почти полностью, определяют изменение производительности труда.

Однако сами признаки-факторы находятся между собой также в корреляционной зависимости.

Для определения степени зависимости результативного признака от факторных при элиминировании зависимости между самими факторными признаками применяются частные коэффициенты корреляции.

Так, зависимость производительности труда у от электровооруженности труда х при исключении влияния коэффициента экстенсивной нагрузки оборудования z определяется частным коэффициентом корреляции rxy z 0.51, 39 Зависимость производительности труда от коэффициента экстенсивной нагрузки оборудования при исключении влияния элск-тровооруженности труда определяется частным коэффициентом корреляции Rzy x 0,51, 40 Все рассчитанные коэффициенты корреляции используются при наличии прямолинейной зависимости между признаками.

При любой форме зависимости тесноту связи характеризует индекс корреляции.

Применительно к предыдущему примеру покажем построение уравнения регрессии и индекса корреляции, характеризующих зависимость производительности труда от электровооруженности труда и коэффициента экстенсивной нагрузки оборудования.

Уравнение связи имеет вид a bx cz, 41 С помощью способа наименьших квадратов У у-xz 2 min получим три нормальных уравнения для нахождения параметров a, b, c aУm b Уxm c Уzm Уym aУxm b Уx2m cУxzm Уxym a Уzm b Уxzm c Уz2m Уzym. Параметры уравнения могут быть получены по формулам a - b 2,11 3,11 0,1 В данном случае а -3,63 b 0,31 с 8,03. Уравнение множественной регрессии. Следовательно, выработка труб на одного рабочего при росте электровооруженности на 1 кВт-ч увеличивается на 0,31 усл. км, а при увеличении нагрузки оборудования на 1 - на 8,03 усл. км. Подставляя в 41 конкретные значения х и z, получаем теоретическую линию регрессии со значениями. Для измерения тесноты связи рассчитывается индекс множественной корреляции , 42 где 2,285 4,455 0,71. Таким образом, при прямолинейной зависимости коэффициент и индекс корреляции совпадают Rxyz зxzy 0.7l. При измерении тесноты зависимости производительности труда от большого числа переменных методика построения уравнения регрессии и индекса корреляции остается той же, только увеличивается число параметров в уравнении регрессии, например , 43 соответственно уравнение индекса корреляции имеет вид , 44 где числитель представляет дисперсию результативного признака, зависящего от влияния всех принимаемых в расчет факторных признаков x, z, q, h, g. Следовательно, под знаком корня - изучаемых факторов, в общей дисперсии, формируемой под влиянием всех факторов без исключения.

Совокупный индекс так же, как и коэффициент множественной корреляции, не свободен от степени зависимости между самими факторными признаками.

Элиминирование зависимости между факторами может быть достигнуто вычислением частных индексов корреляции , 45 где - остаточная дисперсия y, формируемая под влиянием всех факторов х остаточная дисперсия у, формируемая под влиянием всех факторов, кроме x и z. Следовательно, в числителе формулы 45 - дисперсия у, зависящая от влияния z, а все подкоренное выражение - удельный вес дисперсии у, зависящий от влияния только z в общей дисперсии у, формируемой под влиянием всех факторов, кроме х, Аналогично рассчитывается второй частный индекс корреляции, характеризующий влияние на у фактора х при исключенном z , 46 По абсолютной величине частные индексы корреляции равны соответствующим частным коэффициентам корреляции.

Следовательно, если парные коэффициенты корреляции, характеризующие зависимость производительности труда от электровооруженности труда и использования оборудования во времени, rxy 0,624 и гzy 0,573, то частные коэффициенты показывают меньшую зависимость rxy z 0,5l, а rzy x 0,45 за счет исключения взаимосвязи между самими факторными признаками.

При анализе производительности труда методами корреляции и регрессии не всегда зависимость результативного признака от одного или нескольких факторных признаков может аппроксимироваться прямолинейной моделью. Нередко возникает необходимость в применении более сложных форм связей, например параболы любого порядка так, зависимость средней выработки одного рабочего от возраста наиболее объективно отражает парабола второго порядка , 47 Для определения параметров a, b и с необходимо решить следующую систему уравнений na bУx cУx2 Уy aУx bУx2 cУx3 Уxy aУx2 bУx3 cУx4 Уx2y. При изучении изменения производительности труда под влиянием весьма интенсивно действующих факторов часто применяется показательная экспоненциальная функция, например, такого типа , 48 Для определения параметров этого уравнения прежде всего выполняется логарифмирование с целью приведения функции к прямолинейной форме log log a x log b. Для определения параметров а и b решается система уравнений п log a log bУx У log y log aУx log bУx2 Уx logy. Найденные значения log a и log следует подставить в уравнение регрессии и найти logy при конкретных значениях к. После определения антилогарифмов находится ух в заданных первоначальным уравнением единицах измерения.

Аналогично изучается зависимость результативного признака от нескольких факторных при помощи экспоненциальной функции , 49